Google
Câu hỏi: Trên hình bên cho hai đường cong (\({C_1}\)) (đường nét liền) và (\({C_2}\)) (đường nét đứt) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Biết rằng mỗi đường cong ấy là đồ thị của một trong hai hàm số lũy thừa \(y = {x^{ - 2}}\) và \(y = {x^{ - {1 \over 2}}} \left( {x > 0} \right)\). Chỉ dựa vào tính chất của lũy thừa, có thể nhận biết đường cong nào là đồ thị của hàm số nào được không? Hãy nêu rõ lập luận.
Phương pháp giải
Nhận xét giá trị hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) và \(y = {x^{ - {1 \over 2}}} \left( {x > 0} \right)\) và đối chiếu đồ thị.
Lời giải chi tiết
Với \(x > 1\) ta có:
\(- 2 < - \frac{1}{2} \Rightarrow {x^{ - 2}} < {x^{ - \frac{1}{2}}}\) nên đồ thị hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) nằm dưới đồ thị hàm số \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\)
Với \(0 < x < 1\) ta có:
\(- 2 < - \frac{1}{2} \Rightarrow {x^{ - 2}} > {x^{ - \frac{1}{2}}}\) nên đồ thị hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\)
Đối chiếu hai đường cong trong hình ta thấy,
+ Trong khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(\left( {{C_1}} \right)\) nằm dưới \(\left( {{C_2}} \right)\)
+ Trong khoảng \(\left( {0; 1} \right)\) thì \(\left( {{C_1}} \right)\) nằm trên \(\left( {{C_2}} \right)\)
Vậy \(\left( {{C_1}} \right)\) là đồ thị hàm số \(y = {x^{ - 2}}\)
\(\left( {{C_2}} \right)\) là đồ thị hàm số \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\)
Nhận xét giá trị hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) và \(y = {x^{ - {1 \over 2}}} \left( {x > 0} \right)\) và đối chiếu đồ thị.
Lời giải chi tiết
Với \(x > 1\) ta có:
\(- 2 < - \frac{1}{2} \Rightarrow {x^{ - 2}} < {x^{ - \frac{1}{2}}}\) nên đồ thị hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) nằm dưới đồ thị hàm số \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\)
Với \(0 < x < 1\) ta có:
\(- 2 < - \frac{1}{2} \Rightarrow {x^{ - 2}} > {x^{ - \frac{1}{2}}}\) nên đồ thị hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\)
Đối chiếu hai đường cong trong hình ta thấy,
+ Trong khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(\left( {{C_1}} \right)\) nằm dưới \(\left( {{C_2}} \right)\)
+ Trong khoảng \(\left( {0; 1} \right)\) thì \(\left( {{C_1}} \right)\) nằm trên \(\left( {{C_2}} \right)\)
Vậy \(\left( {{C_1}} \right)\) là đồ thị hàm số \(y = {x^{ - 2}}\)
\(\left( {{C_2}} \right)\) là đồ thị hàm số \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\)