Bài 53 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Tìm các giới hạn sau:

Câu a​

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over x}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + u} \right)}}{u} = 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\ln \left({1 + 3x} \right)}}{{3x}}\)
\(= 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over {3x}} = 3.1=3\).

Câu b​

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over x}\)
Lời giải chi tiết:
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over {{x^2}}} = 1\) nên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over x} \) \(=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over {x^2}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {x.\frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2}}}} \right] \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2}}} = 0.1 = 0\)