Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn \({C_1}({F_1};{R_1})\) và \({C_2}({F_2};{R_2})\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1≠ F_2\). Đường tròn \((C)\) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\). Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \((C)\) di động trên một elip.
Phương pháp giải
- Tính \(MF_1, MF_2\) theo các bán kính, chú ý điều kiện tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong.
- Tính \(MF_1+MF_2\) và sử dụng định nghĩa elip để suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((C)\)
\((C)\) và \(C_1\) tiếp xúc ngoài với nhau
\(\Rightarrow \)\(MF_1= R_1+ R\) (1)
\((C)\) và \(C_2\) tiếp xúc trong với nhau
\(\Rightarrow \)\(MF_2= R_2- R\) (2)
Từ (1) và (2) ta được
\(M{F_1} + M{F_2} = {R_1}+R + {R_2}-R\) \(=R_1+R_2\) không đổi.
Điểm M có tổng các khoảng cách \(M{F_1} + M{F_2} \) đến hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) bằng một độ dài không đổi \({R_1} + {R_2}.\)
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường elip, có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) và có tiêu cự \(F_1F_2= R_1+R_2.\)
- Tính \(MF_1, MF_2\) theo các bán kính, chú ý điều kiện tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong.
- Tính \(MF_1+MF_2\) và sử dụng định nghĩa elip để suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((C)\)
\((C)\) và \(C_1\) tiếp xúc ngoài với nhau
\(\Rightarrow \)\(MF_1= R_1+ R\) (1)
\((C)\) và \(C_2\) tiếp xúc trong với nhau
\(\Rightarrow \)\(MF_2= R_2- R\) (2)
Từ (1) và (2) ta được
\(M{F_1} + M{F_2} = {R_1}+R + {R_2}-R\) \(=R_1+R_2\) không đổi.
Điểm M có tổng các khoảng cách \(M{F_1} + M{F_2} \) đến hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) bằng một độ dài không đổi \({R_1} + {R_2}.\)
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường elip, có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) và có tiêu cự \(F_1F_2= R_1+R_2.\)