Bài 3 trang 88 SGK Hình học 10

Câu hỏi: Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

Câu a​

Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N( 3; \dfrac{-12}{5}).\)
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)
Thay tọa độ các điểm M, N thuộc ellip vào phương trình ellip để tìm a và b
Lời giải chi tiết:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)
Elip đi qua \(M(0; 3)\)
\(\dfrac{0^{2}}{a^{2}} + \dfrac{3^{2}}{b^{2}}= 1 \) \(\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1 \) \(\Rightarrow   b^2= 9\)
Elip đi qua \(N( 3; \dfrac{-12}{5})\)
\(\dfrac{3^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\left(\dfrac{-12}{5}\right)^{2}}{9} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}}\) \(\Rightarrow  a^2= 25\)
Phương trình chính tắc của elip là : \(\dfrac{x^{2}}{25}  + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)

Câu b​

Một tiêu điểm là \(F_1( -\sqrt3; 0)\) và điểm \(M(1; \dfrac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip.
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)
+) Từ tiêu điểm F ta suy ra được c.
+) Sử dụng công thức \(c^2=a^2-b^2.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({F_1}\left( { - \sqrt 3; 0} \right) \Rightarrow  - c =  - \sqrt 3 \) \(\Leftrightarrow c = \sqrt 3 \) \(  \Rightarrow    c^2= 3\)
Elip đi qua điểm \(M(1; \dfrac{\sqrt{3}}{2})\)
\(\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{b^{2}}= 1 \) \(\Rightarrow   \dfrac{1}{a^{2}}+ \dfrac{3}{4b^{2}}= 1\)  (1)
Mặt khác:  \(c^2=a^2-b^2\)
\(\Rightarrow 3 =  a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2 + 3\)
Thế vào (1) ta được : \(\dfrac{1}{b^{2}+ 3} + \dfrac{3}{4b^{2}} = 1\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{4{b^2} + 3{b^2} + 9}}{{4{b^4} + 12{b^2}}} = 1\\
\Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}\\
\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{b^2} = 1\left({TM} \right)\\
{b^2} =  - \dfrac{9}{4}\left({loai} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {a^2} = {b^2} + 3 = 1 + 3 = 4
\end{array}\)
Phương trình chính tắc của elip là : \(\dfrac{x^{2}}{4}  + \dfrac{y^{2}}{1}= 1\)