Bài 42 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2}, \tan b = {1 \over 3}\)với \(a, b \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b = {\pi  \over 4}\).
Phương pháp giải:
Tính acgumen của zz' bằng hai cách rồi suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết:

Biểu diễn hình học \(2 + i, 3 + i\) theo thứ tự bới M và N trong mặt phẳng phức
Ta có: \(\tan \left( {Ox, OM} \right) = {1 \over 2} = \tan a\)
\(\tan \left( {Ox, ON} \right) = {1 \over 3} = \tan b\)
Xét \(z. Z' = (2 + i).(3 + i) = 5(1 + i) \)
\(= 5\sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\)
Số \(zz'\) có acgumen là \({{\pi  \over 4}}\).
Mà zz' cũng có acgumen là a+b.
Suy ra \(a + b = {\pi  \over 4}\)

Câu b​

Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2}, \tan b = {1 \over 5}, \tan c = {1 \over 8}\) với \(a, b, c \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b + c = {\pi  \over 4}\).
Lời giải chi tiết:
\({z_1} = 2 + i\) có một acgumen là a với \(\tan a = {1 \over 2}\)
\({z_2} = 5 + i\) có một acgumen là b với \(\tan b = {1 \over 5}\)
\({z_3} = 8 + i\) có một acgumen là c với \(\tan c = {1 \over 8}\)
Xét \(z = {z_1}{z_2}{z_3} = \left( {2 + i} \right)\left({5 + i} \right)\left({8 + i} \right) \) \(= 65\left( {1 + i} \right)\)
\(= 65\sqrt 2 \left( {{{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) \) \(= 65\sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\)
\(z\) có acgumen là \({\pi  \over 4}\), suy ra \(a + b + c = {\pi  \over 4}\)