Bài 40 trang 43 Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Lời giải chi tiết:
Tập xác đinh:
Sự biến thiên:

- Hàm số đồng biến trên khoảng và
- Hàm số nghịch biến trên khoảng
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
- Giới hạn:


Điểm uốn
- Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điiểm làm tâm đối xứng.

Câu b​

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
Phương pháp giải:
Công thức viết phương trình tiếp tuyến của ĐTHS tại điểm là:
hay
Lời giải chi tiết:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại là:

Câu c​

Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải chi tiết:
Cách 1. Gọi I(-1; -2) là tọa độ điểm uốn.
Theo công thức đổi trục tọa độ theo véc tơ OI ta có:
Phương trình của trong hệ tọa độ là:

Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
⇒ điều phải chứng minh
Cách 2:
Lấy điểm bất kì thuộc .
Điểm đối xứng với qua

Ta kiểm tra có thuộc đồ thị hàm số đã cho hay không. Ta có:

Do đó điểm cũng thuộc .
Vậy là tâm đối xứng của .
Cách 3:
Sử dụng lý thuyết: Đồ thị hàm số y=f(x) nhận làm tâm đối xứng
f(x0​+x)+f(x0​-x)=2y0​ với ∀x
Áp dụng:
Đồ thị nhận I(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:
⇔ f(-1+x)+f(-1-x)=-4 với ∀x

là tâm đối xứng của đồ thị.