Bài 41 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr 
& y' = - 3{x^2} + 6x = - 3x\left({x - 2} \right);\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0; y\left(0 \right) = - 1 \hfill \cr 
x = 2; y\left(2 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên khoảng \((0; 2)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty; 0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), giá trị cực tiểu \(y(0) = -1\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 2\), giá trị cực đại \(y(2) = 3\).
Đồ thị: \(y'' =  - 6x + 6\)
\(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1; y\left( 1 \right) = 1\)
Xét dấu y”:

\(I(1; 1)\) là điểm uốn của đồ thị
Điểm đặc biệt:
\(x = 0 \Rightarrow y =  - 1\)
\(x =  - 1 \Rightarrow y = 3\)

Câu b​

Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \( - {x^3} + 3{x^2} - 1 = m\)
Lời giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\) với đường thẳng \(y = m\) cùng phương với trục \(Ox\).
Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:
- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm
- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.
- Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm
- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.
- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.
Vậy,
- Nếu \(m < -1\) hoặc \(m > 3\) thì phương trình có \(1\) nghiệm;
- Nếu \(m = -1\) hoặc \(m = 3\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;
- Nếu \(-1 < m < 3\) thì phương trình có \(3\) nghiệm.