Bài 4 trang 25 SBT toán 8 tập 1

Câu hỏi: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

Câu a​

\(\displaystyle {{x - {x^2}} \over {5{x^2} - 5}} = {x \over {...}}\)
Phương pháp giải:
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A.M}{B.M}\) ( \(M\) là một đa thức khác đa thức \(0\))
- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A : N}{B : N}\) ( \(N\) là một nhân tử chung)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(x-x^2=x(1-x)\)
Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái đã chia cho \(1 - x\) nên mẫu thức phải chia cho \(1 - x\)
Mà \(5{x^2} - 5 = 5\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \)\( = - 5\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Ta có : \(\displaystyle \frac{{x - {x^2}}}{{5{x^2} - 5}} = \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{ - 5\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} \)\( = \dfrac{x}{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}\)
Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là \( - 5\left( {x + 1} \right)\)

Câu b​

\(\displaystyle {{{x^2} + 8} \over {2x - 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {...}}\)
Phương pháp giải:
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A.M}{B.M}\) ( \(M\) là một đa thức khác đa thức \(0\))
- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A : N}{B : N}\) ( \(N\) là một nhân tử chung)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{{x^2} + 8} \over {2x - 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {...}}\)
\( \displaystyle \Rightarrow {{{x^2} + 8} \over {2x - 1}} = {{3x\left( {{x^2} + 8} \right)} \over {...}}\)
Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái được nhân với \(3x\) nên mẫu thức cũng nhân với \(3x\).
Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là \(3x\left( {2x - 1} \right) = 6{x^2} - 3x\)
Ta có: \(\displaystyle {{{x^2} + 8} \over {2x - 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {6{x^2} - 3x}}\)

Câu c​

\(\displaystyle {{...} \over {x - y}} = {{3{x^2} - 3xy} \over {3{{\left( {y - x} \right)}^2}}}\)
Phương pháp giải:
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A.M}{B.M}\) ( \(M\) là một đa thức khác đa thức \(0\))
- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A : N}{B : N}\) ( \(N\) là một nhân tử chung)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{...} \over {x - y}} = {{3{x^2} - 3xy} \over {3{{\left( {y - x} \right)}^2}}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{{...}}{{x - y}} = \frac{{3x\left( {x - y} \right)}}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}}\)
Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái được nhân với \(3\left( {x - y} \right)\) nên tử cũng được nhân với \(3\left( {x - y} \right)\) mà \(3{x^2} - 3xy = 3x\left( {x - y} \right)\)
Vậy đa thức cần điển vào chỗ trống là \(x\)
Ta có: \(\displaystyle {x \over {x - y}} = {{3{x^2} - 3xy} \over {3{{\left( {y - x} \right)}^2}}}\)

Câu d​

\(\displaystyle {{ - {x^2} + 2xy - {y^2}} \over {x + y}} = {{...} \over {{y^2} - {x^2}}}\)
Phương pháp giải:
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A.M}{B.M}\) ( \(M\) là một đa thức khác đa thức \(0\))
- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A : N}{B : N}\) ( \(N\) là một nhân tử chung)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{ - {x^2} + 2xy - {y^2}} \over {x + y}} = {{...} \over {{y^2} - {x^2}}}\)
\( \Rightarrow \)\(\displaystyle{{ - {x^2} + 2xy - {y^2}} \over {x + y}} = {{...} \over {\left( {y - x} \right)\left( {x + y} \right)}}\)
Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái nhân thêm \(y - x\) nên tử phải nhân với \(y - x\), đa thức cần điền là
\(\left( { - {x^2} + 2xy - {y^2}} \right)\left( {y - x} \right)\)
\( = - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\left( {y - x} \right)\)
\(= \left( {x - y} \right){\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {x - y} \right)^3}\)
Ta có: \(\displaystyle {{ - {x^2} + 2xy - {y^2}} \over {x + y}} = {{{{\left( {x - y} \right)}^3}} \over {{y^2} - {x^2}}}\)