Bài 4 trang 18 SGK Hình học 12

Câu hỏi: Cho hình bát diện đều

Chứng minh rằng :

Câu a​

a) Các đoạn thẳng và đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Phương pháp giải:
+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
a) Do cách đều và nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của ).
Tương tự, đồng phẳng và đồng phẳng.
Gọi là giao của với . Khi đó là những điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng. Tương tự, thẳng hàng.
Vậy đồng quy tại .
Vì là hình thoi nên vuông góc với và cắt tại là trung điểm của mỗi đường. là trung điểm của và vuông góc với và , do đó các đoạn thẳng , và đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
Cách khác:
Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.
B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF
Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a)
⇒ BCDE là hình thoi
⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Câu b​

b) và là những hình vuông.
Phương pháp giải:
+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
b) Ta có tứ giác là hình thoi.
Do vuông góc và nên .
Từ đó suy ra hình thoi là hình vuông. Tương tự là những hình vuông.
Cách khác:
Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.

Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC
⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông.
Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.