Bài 4.24 trang 166 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Tính giới hạn của các hàm số sau khi \(x \to  + \infty \) và khi \(x \to  - \infty \)

Câu a​

\(f\left( x \right) = {{\sqrt {{x^2} - 3x} } \over {x + 2}}\)
Phương pháp giải:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn và tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
Khi  \(x \to  + \infty \)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 3x} } \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left| x \right|\sqrt {1 - {3 \over x}} } \over {x + 2}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 - {3 \over x}} } \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {1 - {3 \over x}} } \over {1 + {2 \over x}}} = 1 \cr} \)
Khi \(x \to  - \infty \)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 3x} } \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right|\sqrt {1 - {3 \over x}} } \over {x + 2}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {3 \over x}} } \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 - {3 \over x}} } \over {1 + {2 \over x}}} = - 1 \cr}\)

Câu b​

\(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - x + 1}\)
Phương pháp giải:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn và tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
Khi  \(x \to  + \infty \)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left({x + \sqrt {{x^2} - x + 1} } \right) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left({x + x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \right) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left({1 + \sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = + \infty \cr} \)
Khi \(x \to  - \infty \)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left({x + \sqrt {{x^2} - x + 1} } \right) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - \left({{x^2} - x + 1} \right)} \over {x - \sqrt {{x^2} - x + 1} }} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 1} \over {x - \sqrt {{x^2} - x + 1} }} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 1} \over {x - \left| x \right|\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 1} \over {x + x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - {1 \over x}} \over {1 + \sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }} = {1 \over 2} \cr} \)

Câu c​

\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - x}  - \sqrt {{x^2} + 1} \)
Phương pháp giải:
Nhân chia với biểu thức liên hợp rồi tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
Khi  \(x \to  + \infty \)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left({\sqrt {{x^2} - x} - \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left({{x^2} - x} \right) - \left({{x^2} + 1} \right)} \over {\sqrt {{x^2} - x} + \sqrt {{x^2} + 1} }} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - x - 1} \over {x\sqrt {1 - {1 \over x}} + x\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} }} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1 - {1 \over x}} \over {\sqrt {1 - {1 \over x}} + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} }} = {{ - 1} \over 2}; \cr} \)
Khi \(x \to  - \infty \)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left({\sqrt {{x^2} - x} - \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left({{x^2} - x} \right) - \left({{x^2} + 1} \right)} \over {\sqrt {{x^2} - x} + \sqrt {{x^2} + 1} }} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x - 1} \over { - x\sqrt {1 - {1 \over x}} - x\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} }} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1 - {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {1 \over x}} - \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} }} = {1 \over 2} \cr}\)