Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC,\) đường trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM,\) \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC.\) Chứng minh rằng \(AE = \displaystyle {1 \over 2}EC\).
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:
+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Lời giải chi tiết
Gọi \(F\) là trung điểm của \(EC\)
Trong \(∆ CBE\) ta có:
\(M\) là trung điểm của cạnh \(CB\)
\(F\) là trung điểm của cạnh \(CE\)
Nên \(MF\) là đường trung bình của \(∆ CBE\)
\(⇒ MF // BE\) (tính chất đường trung bình của tam giác) hay \(DE // MF\)
Trong tam giác \(AMF\) ta có:
\(D\) là trung điểm của \(AM\)
\(DE // MF\)
Suy ra: \(AE = EF \) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Mà \(EF = FC = \displaystyle {{EC} \over 2}\) nên \(AE = \displaystyle {1 \over 2}EC\).
Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:
+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Lời giải chi tiết
Gọi \(F\) là trung điểm của \(EC\)
Trong \(∆ CBE\) ta có:
\(M\) là trung điểm của cạnh \(CB\)
\(F\) là trung điểm của cạnh \(CE\)
Nên \(MF\) là đường trung bình của \(∆ CBE\)
\(⇒ MF // BE\) (tính chất đường trung bình của tam giác) hay \(DE // MF\)
Trong tam giác \(AMF\) ta có:
\(D\) là trung điểm của \(AM\)
\(DE // MF\)
Suy ra: \(AE = EF \) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Mà \(EF = FC = \displaystyle {{EC} \over 2}\) nên \(AE = \displaystyle {1 \over 2}EC\).