Bài 3 trang 7 SGK Hình học 11

Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(v = ( -1; 2)\), hai điểm \(A(3; 5)\), \(B( -1; 1)\) và đường thẳng d có phương trình \(x-2y+3=0\).

Câu a​

Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow v \left( {a; b} \right)\) biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y'). Khi đó \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x' - x = a \hfill \cr y' - y = b \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{x' = x + a \hfill \cr y' = y + b \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(A'=(x'; y')\). Khi đó
\(T_{\vec{v}} (A) = A'\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' - 3 = - 1\\
y' - 5 = 2
\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} {x}'= 3 - 1 = 2\\ {y}'= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow A' = (2; 7)\)
\({T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) = B' \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow v \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' - \left({ - 1} \right) = - 1\\
y' - 1 = 2
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = - 1 - 1\\
y' = 1 + 2
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = - 2\\
y' = 3
\end{array} \right.\) \(  \Rightarrow B'\left( { - 2; 3} \right)\)

Câu b​

Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({T_{\overrightarrow v }}\left( C \right) = A\) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {CA} = \overrightarrow v \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} - {x_C} = - 1\\
{y_A} - {y_C} = 2
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = {x_A} + 1\\
{y_C} = {y_A} - 2
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = 3 + 1 = 4\\
{y_C} = 5 - 2 = 3
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow C\left( {4; 3} \right)\)
Cách khác
Ta có \(A = T_{\vec{v}} (C)\) ⇔ \(C= T_{-\vec{v}} (A) \) (với \( - \overrightarrow v  = \left( {1; - 2} \right)\))
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{x' = 3 + 1 = 4 \hfill \cr y' = 5 - 2 = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C\left( {4; 3} \right)\)

Câu c​

Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)
Phương pháp giải:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Lời giải chi tiết:
Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Gọi \(M(x; y)\) bất kì thuộc d, \(M' = T_{\vec{v}}(M) =(x'; y')\) nên M' thuộc d'.
Khi đó
\(M' = T_{\vec{v}}(M)\) \(⇔  \left\{ \matrix{x' = x - 1 \hfill \cr y' = y + 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = x' + 1 \hfill \cr y = y' - 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta có \(M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0\)\(⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 \) \(⇔ x' -2y' +8=0 \)
\(⇔ M' ∈ d'\) có phương trình \(x-2y+8=0\).
Vậy \(T_{\vec{v}}(d) = d': x-2y+8=0\)
Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến
Gọi \(T_{\vec{v}}(d) =d'\).
Khi đó \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\) nên phương trình của nó có dạng \(x-2y+C=0\).
Lấy một điểm thuộc \(d\) chẳng hạn \(B(-1; 1)\), khi đó gọi \(B' = {T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = - 1 - 1 = - 2 \hfill \cr y' = 1 + 2 = 3 \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow B'\left( { - 2; 3} \right) \in d'\)
\(\Rightarrow  - 2 - 2.3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 8\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right): x - 2y + 8 = 0\).