Google
Câu hỏi: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung đểm của các cạnh \(AB, CD\) và \(G\) là trung điểm của đoạn \(MN\)
a) Tìm giao điểm \(A'\) của đường thẳng \(AG\) và mặt phẳng \((BCD)\)
b) Qua \(M\) kẻ đường thẳng \(Mx\) song song với \(AA'\) và \(Mx\) cắt \((BCD)\) tại \(M'\). Chứng minh \(B, M', A'\) thẳng hàng và \(BM' = M'A' = A'N\).
c) Chứng minh \(GA = 3 GA'\).
a) Tìm giao điểm \(A'\) của đường thẳng \(AG\) và mặt phẳng \((BCD)\)
b) Qua \(M\) kẻ đường thẳng \(Mx\) song song với \(AA'\) và \(Mx\) cắt \((BCD)\) tại \(M'\). Chứng minh \(B, M', A'\) thẳng hàng và \(BM' = M'A' = A'N\).
c) Chứng minh \(GA = 3 GA'\).
Phương pháp giải
a) Trong \((ABN)\): Gọi \(A'=AG \cap BN\).
b) Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác.
c) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
Lời giải chi tiết
A) Có: MN ⊂ (ABN)
⇒ G ∈ (ABN)
⇒ AG ⊂ (ABN).
Trong \((ABN)\): Gọi \(A'=AG \cap BN\)
\(\Rightarrow A' \in BN \subset (BCD)\).
\(\Rightarrow A' \in (BCD) \Rightarrow A' = AG \cap (BCD)\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MM'//AA'\\AA' \subset \left( {ABN} \right)\\M \in AB \subset \left({ABN} \right)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow MM' \subset \left( {ABN} \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}M' \in \left( {ABN} \right)\\M' \in \left({BCD} \right)\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow M' \in \left( {ABN} \right) \cap \left({BCD} \right) = BN\).
Mà A' cũng thuộc BN nên \(M', A', B\) thẳng hàng (cùng nằm trên BN).
*) Xét tam giác \(NMM'\) có:
+) \(G\) là trung điểm của \(NM\).
+) \(GA'//MM'\)
\(\Rightarrow A'\) là trung điểm của \(NM'\)
Xét tam giác \(BAA'\) có:
+) \(M \) là trung điểm của \(AB\)
+) \(MM'//AA'\)
\(\Rightarrow M'\) là trung điểm của \(BA'\)
Do đó: \(BM'=M'A'=A'N\).
c) Ta có \(\displaystyle MM'={1\over 2} AA'\)
\(\Rightarrow GA' = \frac{1}{2}MM' = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}AA' = \frac{1}{4}AA' \)
\(\Rightarrow GA = AA' - GA' \) \(= AA' - \frac{1}{4}AA' = \frac{3}{4}AA'\)
\(\Rightarrow \dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{\dfrac{1}{4}AA'}}{{\dfrac{3}{4}AA'}} = \dfrac{1}{3} \) \(\Rightarrow GA = 3GA'\)
a) Trong \((ABN)\): Gọi \(A'=AG \cap BN\).
b) Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác.
c) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
Lời giải chi tiết
A) Có: MN ⊂ (ABN)
⇒ G ∈ (ABN)
⇒ AG ⊂ (ABN).
Trong \((ABN)\): Gọi \(A'=AG \cap BN\)
\(\Rightarrow A' \in BN \subset (BCD)\).
\(\Rightarrow A' \in (BCD) \Rightarrow A' = AG \cap (BCD)\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MM'//AA'\\AA' \subset \left( {ABN} \right)\\M \in AB \subset \left({ABN} \right)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow MM' \subset \left( {ABN} \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}M' \in \left( {ABN} \right)\\M' \in \left({BCD} \right)\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow M' \in \left( {ABN} \right) \cap \left({BCD} \right) = BN\).
Mà A' cũng thuộc BN nên \(M', A', B\) thẳng hàng (cùng nằm trên BN).
*) Xét tam giác \(NMM'\) có:
+) \(G\) là trung điểm của \(NM\).
+) \(GA'//MM'\)
\(\Rightarrow A'\) là trung điểm của \(NM'\)
Xét tam giác \(BAA'\) có:
+) \(M \) là trung điểm của \(AB\)
+) \(MM'//AA'\)
\(\Rightarrow M'\) là trung điểm của \(BA'\)
Do đó: \(BM'=M'A'=A'N\).
c) Ta có \(\displaystyle MM'={1\over 2} AA'\)
\(\Rightarrow GA' = \frac{1}{2}MM' = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}AA' = \frac{1}{4}AA' \)
\(\Rightarrow GA = AA' - GA' \) \(= AA' - \frac{1}{4}AA' = \frac{3}{4}AA'\)
\(\Rightarrow \dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{\dfrac{1}{4}AA'}}{{\dfrac{3}{4}AA'}} = \dfrac{1}{3} \) \(\Rightarrow GA = 3GA'\)