Câu hỏi: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC).
a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng
c) Chứng minh rằng (SSBC)2 = (SHBC). (SABC) và
(SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 + (SSCA)2
d) Chứng minh rằng
SG2 = (SA2 + SB2 + SC2)/9 (G là trọng tâm của tam giác ABC) và
(AB + BC + CA)2 ≤ 6(SA2 + SB2 + SC2).
e) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn và
SA2tanA = SB2tanB = SC2tanC = 2SABC
a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng
c) Chứng minh rằng (SSBC)2 = (SHBC). (SABC) và
(SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 + (SSCA)2
d) Chứng minh rằng
SG2 = (SA2 + SB2 + SC2)/9 (G là trọng tâm của tam giác ABC) và
(AB + BC + CA)2 ≤ 6(SA2 + SB2 + SC2).
e) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn và
SA2tanA = SB2tanB = SC2tanC = 2SABC
Lời giải chi tiết
A) Ta chứng minh: CH ⊥ AB & AH ⊥ BC
Ta có: AB ⊥ SC (do SH ⊥ (ABC)) & AB ⊥ SH (do SC ⊥ (SAB))
⇒ AB ⊥ (SCH) ⇒ AB ⊥ CH (1)
Tương tự, ta có BC ⊥ (SAH) nên AH ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) cho ta H là trực tâm ΔABC.
b) Giả sử CH kéo dài cắt AB tại C’, ta có
AB ⊥ CC' (do H là trực tâm) & AB ⊥ SC' (do AB ⊥ (SCH))
Trong tam giác SCC’, ta có
Mà SC’ là đường cao trong tam giác vuông SAB nên
Từ (3) và (4) ta có:
Tương tự, ta có (SSCA )2 = SHCA. SABC (7)
(SSAB )2 = SHAB. SABC (8)
Cộng (6), (7), (8) vế theo vế, ta có
d, Với G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
Suy ra
Hay
(Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Suy ra
e) Đặt
Trong ΔABC, ta có:
Tương tự cosB > 0, cosC > 0.
Vậy ΔABC có ba góc nhọn.
Mặt khác, ta có:
Tương tự, ta có:
Vậy
A) Ta chứng minh: CH ⊥ AB & AH ⊥ BC
Ta có: AB ⊥ SC (do SH ⊥ (ABC)) & AB ⊥ SH (do SC ⊥ (SAB))
⇒ AB ⊥ (SCH) ⇒ AB ⊥ CH (1)
Tương tự, ta có BC ⊥ (SAH) nên AH ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) cho ta H là trực tâm ΔABC.
b) Giả sử CH kéo dài cắt AB tại C’, ta có
AB ⊥ CC' (do H là trực tâm) & AB ⊥ SC' (do AB ⊥ (SCH))
Trong tam giác SCC’, ta có
Mà SC’ là đường cao trong tam giác vuông SAB nên
Từ (3) và (4) ta có:
Tương tự, ta có (SSCA )2 = SHCA. SABC (7)
(SSAB )2 = SHAB. SABC (8)
Cộng (6), (7), (8) vế theo vế, ta có
d, Với G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
Suy ra
Hay
(Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Suy ra
e) Đặt
Trong ΔABC, ta có:
Tương tự cosB > 0, cosC > 0.
Vậy ΔABC có ba góc nhọn.
Mặt khác, ta có:
Tương tự, ta có:
Vậy