Google
Câu hỏi: Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(AC, BD, AD\) và có \(MN = PQ\). Chứng minh rằng \(AB ⊥ CD\).
Phương pháp giải
Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\)
Lời giải chi tiết
Ta cần chứng minh \(\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\)
Đặt \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b , \overrightarrow {AC} = \overrightarrow c , \overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \). Ta có:
\(\displaystyle \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN}\) \(\displaystyle = - {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
Suy ra \(\displaystyle \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right)\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QA} + \overrightarrow {AP} \cr
& = - {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} + {1 \over 2}\left({\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cr
& = {1 \over 2}\left({\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right) \cr} \)
Theo giả thiết ta có:
\(\displaystyle MN = PQ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {QP} ^2}\)
\(\displaystyle \eqalign{
& {\left({\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right)^2} = {\left({\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow d - \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow b .\overrightarrow c - \overrightarrow b .\overrightarrow d \cr
& \Leftrightarrow 2\overrightarrow b .\overrightarrow d - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow b .\left({\overrightarrow d - \overrightarrow c } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\left({\overrightarrow {A{\rm{D}}} - \overrightarrow {AC} } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {C{\rm{D}}} \cr} \)
Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\)
Lời giải chi tiết
Ta cần chứng minh \(\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\)
Đặt \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b , \overrightarrow {AC} = \overrightarrow c , \overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \). Ta có:
\(\displaystyle \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN}\) \(\displaystyle = - {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
Suy ra \(\displaystyle \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right)\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QA} + \overrightarrow {AP} \cr
& = - {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} + {1 \over 2}\left({\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cr
& = {1 \over 2}\left({\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right) \cr} \)
Theo giả thiết ta có:
\(\displaystyle MN = PQ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {QP} ^2}\)
\(\displaystyle \eqalign{
& {\left({\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right)^2} = {\left({\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow d - \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow b .\overrightarrow c - \overrightarrow b .\overrightarrow d \cr
& \Leftrightarrow 2\overrightarrow b .\overrightarrow d - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow b .\left({\overrightarrow d - \overrightarrow c } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\left({\overrightarrow {A{\rm{D}}} - \overrightarrow {AC} } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {C{\rm{D}}} \cr} \)