Câu hỏi: Cho tam giác không vuông.
a) Gọi là đường cao của tam giác . Chứng minh
b) Gọi là trực tâm tam giác Chứng minh
.
a) Gọi
b) Gọi
Lời giải chi tiết
A) Xét trường hợp điểm nằm trên cạnh , tức là các góc và đều nhọn (h. 36a).
Khi đó
Vì và hai vec tơ ngược hướng nên ta suy ra
Nếu điểm nằm ngoài cạnh , chẳng hạn điểm nằm giữa hai điểm và (h. 36b), thì khi đó góc nhọn và góc tù, tức là và .
Ta có
Trong trường hợp này hai vec tơ cùng hướng nên ta có : .
b) Nếu là trực tâm tam giác thì ta có các số không đồng thời bằng 0 sao cho : (theo bài 14 chương I). Vì nên nhân hai vế của đẳng thức trên với ta được và do đó ta có (theo công thức hình chiếu):
(vì vec tơ cùng phương với ).
So sánh đẳng thức này với (*) ta suy ra . Bằng cách tương tự ta đi đến:
.
Bởi vậy đẳng thức trở thành
A) Xét trường hợp điểm
Khi đó
Vì
Nếu điểm
Ta có
Trong trường hợp này hai vec tơ
b) Nếu
(vì vec tơ
So sánh đẳng thức này với (*) ta suy ra
Bởi vậy đẳng thức