Bài 21 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau :

Câu a​

M cách đều điểm A(2; 3 ; 4) và mặt phẳng \(2x + 3y + z - 17 = 0\);
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(M\left( {0; 0; c} \right)\) thuộc trục Oz.
Ta có \(MA = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( {4 - c} \right)}^2}} \) và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng đã cho là \(d = {{\left| {c - 17} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }}\)
\(MA = d \Leftrightarrow \sqrt {13 + {{\left( {4 - c} \right)}^2}}  = {{\left| {c - 17} \right|} \over {\sqrt {14} }} \) \(\Leftrightarrow 13 + {\left( {4 - c} \right)^2} = {{{{\left({c - 17} \right)}^2}} \over {14}} \) \(\Leftrightarrow c = 3.\)
Vậy \(M\left( {0,0,3} \right)\).

Câu b​

M cách đều hai mặt phẳng \(x + y - z + 1 = 0\) và \(x - y + z + 5 = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(M\left( {0; 0; c} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\({{\left| { - c + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {c + 5} \right|} \over {\sqrt 3 }} \) \(\Leftrightarrow c =  - 2 \Rightarrow M\left( {0; 0; - 2} \right)\)