Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

Câu a​

Đi qua ba điểm \(M\left( {2; 0; - 1} \right) ; N\left({1; - 2; 3} \right) ; P\left({0; 1; 2} \right)\);
Phương pháp giải:
MP đi qua 3 điểm M, N, P thì đi qua M và có VTPT cùng phương với véc tơ \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2; 4} \right),\)\(\overrightarrow {MP}  = \left( { - 2; 1; 3} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) \)\(=  - 5\left( {2; 1; 1} \right)\).
Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n  = \left( {2; 1; 1} \right)\).
Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2; 0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; 1; 1} \right)\) nên có phương trình là:
\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left({y - 0} \right) + 1\left({z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\)

Câu b​

Đi qua hai điểm \(A\left( {1; 1; - 1} \right) ; B\left({5; 2; 1} \right)\) và song song với trục Oz ;
Phương pháp giải:
MP đi qua hai điểm A, B và song song Oz thì có VTPT cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right]\)
Lời giải chi tiết:
Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; 1; 2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k  = \left( {0; 0; 1} \right)\) nên:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
1 2 \hfill \cr 
0 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2 4 \hfill \cr 
1 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4 1 \hfill \cr 
0 0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {1; - 4; 0} \right)\)
(P) qua \(A\left( {1; 1; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 4; 0} \right)\) nên (P) có phương trình:
\(1\left( {x - 1} \right) - 4\left({y - 1} \right) + 0\left({z + 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)
Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với A2​ + B2​ ≠ 0
Vì mặt phẳng này đi qua A(1,1, -1) và B(5,2,1) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A + B + D = 0\\5A + 2B + D = 0\end{array} \right.\)
⇒ 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại)
Vậy A ≠ 0, ta chọn A = 1 ⇒ B = -4, và D = 3
Vậy phương trình mặt phẳng là: x – 4y + 3 = 0

Câu c​

Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(x - 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 5; 1} \right)\).
\(Mp\left( \beta  \right)\) qua \(A\left( {3; 2; - 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên \(\left( \beta  \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó \(\left( \beta  \right)\): \(\left( {x - 3} \right) - 5\left({y - 2} \right) + \left({z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\)
Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3,2, -1) nên ta có:
3 - 5.2 + (-1) + D = 0 ⇔ D = 8
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 5y + z + 8 = 0

Câu d​

Đi qua hai điểm A(0; 1 ; 1), B(- 1; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;
Phương pháp giải:
MP đi qua hai điểm A, B và vuông góc \(\left( \alpha  \right)\) thì nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} } \right]\) làm VTPT.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1; 1} \right)\)
\(Mp\left( \alpha  \right)\): \(x - y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m  = \left( {1; - 1; 1} \right)\).
\(Mp\left( \beta  \right)\) đi qua A, B và vuông góc với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:
\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0; 2; 2} \right)\)
Vậy (P): \(2\left( {y - 1} \right) + 2\left({z - 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow y + z - 2 = 0\)

Câu e​

Đi qua điểm M(a; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a, b, c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0; 0; 1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z - c} \right) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\)
Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a, b, c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a, b, c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

Câu g​

Đi qua điểm G(1; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(A\left( {a; 0; 0} \right) , B\left({0, b, 0} \right) , C\left({0,0, c} \right)\).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
\({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3\) \(\Rightarrow a = 3; b = 6; c = 9\)
Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\).

Câu h​

Đi qua điểm H(2; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\).
Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2; 1; 1} \right)\) nên có phương trình :
\(2\left( {x - 2} \right) + \left({y - 1} \right) + \left({z - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\)
Cách khác:
Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0,0); B(0, b, 0); C(0,0, c).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - a; b; 0} \right),\overrightarrow {CH}  = \left({2; 1; 1 - c} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left({0; - b; c} \right),\overrightarrow {AH}  = \left({2 - a; 1; 1} \right)\end{array}\)
Vì H(2,1,1) là trực tâm ΔABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CH}  = 0\\\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\) \(\Rightarrow b = c = 2a\)
Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1\) \(\Leftrightarrow 2x + y + z = 2a\)
Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2,1,1) nên ta có:
2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0