Bài 18 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hai mặt phẳng có phương trình là 
\(2x - my + 3z - 6 + m = 0\) và \(\left( {m + 3} \right)x - 2y + \left({5m + 1} \right)z - 10 = 0\)
Với giá trị nào của m thì:

Câu a​

Hai mặt phẳng đó song song ;
Phương pháp giải:
Điều kiện để hai mp song song là \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}} \ne \frac{d}{{d'}}\)
Lời giải chi tiết:
ĐK hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ - m}}{{ - 2}} = \frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{{m - 6}}{{ - 10}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 4 = 0\\5{m^2} + m - 6 = 0\\5{m^2} - 29m + 24 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1, m =  - 4\\m = 1, m =  - \frac{6}{5}\\m \ne 1, m \ne \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\left( {VN} \right)\end{array}\)
Hệ này vô nghiệm, nên không có m để hai mặt phẳng song song.
Cách khác:
Mặt phẳng \(2x - my + 3z - 6 + m = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - m; 3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {m + 3} \right)x - 2y + \left({5m + 1} \right)z - 10 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {m + 3; - 2; 5m + 1} \right)\).
Ta có
\(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \overrightarrow 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5{m^2} - m + 6 = 0 \hfill \cr 
- 7m + 7 = 0 \hfill \cr 
{m^2} + 3m - 4 = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow m = 1\)
Với m = 1 thì hai mặt phẳng có phương trình \(2x - y + 3z - 5 = 0\) và \(4x - 2y + 6z - 10 = 0\) nên chúng trùng nhau.
Vậy không tồn tại m để hai mặt phẳng đó song song.

Câu b​

Hai mặt phẳng đó trùng nhau ;
Phương pháp giải:
Điều kiện để hai mp song song là \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}} = \frac{d}{{d'}}\)
Lời giải chi tiết:
ĐK hai mặt phẳng đã cho trùng nhau là:
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ - m}}{{ - 2}} = \frac{3}{{5m + 1}} = \frac{{m - 6}}{{ - 10}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 4 = 0\\5{m^2} + m - 6 = 0\\5{m^2} - 29m + 24 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1, m =  - 4\\m = 1, m =  - \frac{6}{5}\\m = 1, m = \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow m = 1\)
Với m = 1 thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.

Câu c​

Hai mặt phẳng đó cắt nhau ;
Lời giải chi tiết:
Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng không trùng nhau (vì theo câu a, hai mặt này không thể song song với nhau).
Theo câu b) ta suy ra giá trị m đẻ hai mặt phẳng cắt nhau là: m ≠ 1
Với \(m \ne 1\) thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.

Câu d​

Hai mặt phẳng đó vuông góc?
Phương pháp giải:
Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi
\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0\)
Lời giải chi tiết:
Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi
\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0\) \(\Leftrightarrow 2\left( {m + 3} \right) + 2m + 3\left({5m + 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow 19m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = {{ - 9} \over {19}}\)