Google
Câu hỏi: Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(AB\) lấy một điểm \(M\). Cho \((α)\) là mặt phẳng qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\)
a) Tìm giao tuyến của \((α)\) với các mặt tứ diện
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng \((α)\) là hình gì?
a) Tìm giao tuyến của \((α)\) với các mặt tứ diện
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng \((α)\) là hình gì?
Phương pháp giải
Sử dụng nội dung của định lí 2:
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng \(\alpha\). Nếu mặt phẳng \(\beta\) chứa a và cắt \(\alpha\) theo giao tuyến b thì b song song với a.
Lời giải chi tiết
A) Ta có:
+ (α) // AC
⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.
Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).
⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).
+ Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).
+ (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).
+ (α) ∩ (ACD) = QP.
b) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left(\alpha \right) \cap \left({ABD} \right) = MQ\\
\left(\alpha \right) \cap \left({ABC} \right) = MN\\
\left(\alpha \right) \cap \left({ACD} \right) = PQ\\
\left(\alpha \right) \cap \left({BCD} \right) = PN
\end{array} \right.\) nên thiết diện là tứ giác MNPQ.
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left(\alpha \right) \cap \left({ACD} \right) = PQ\\
AC//\left(\alpha \right)\\
AC \subset \left({ACD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow PQ//AC\).
Mà MN//AC (câu a) nên MN//PQ.
Lại có: MQ//BD, NP//BD (câu a) nên MQ//NP.
Tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
Sử dụng nội dung của định lí 2:
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng \(\alpha\). Nếu mặt phẳng \(\beta\) chứa a và cắt \(\alpha\) theo giao tuyến b thì b song song với a.
Lời giải chi tiết
A) Ta có:
+ (α) // AC
⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.
Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).
⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).
+ Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).
+ (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).
+ (α) ∩ (ACD) = QP.
b) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left(\alpha \right) \cap \left({ABD} \right) = MQ\\
\left(\alpha \right) \cap \left({ABC} \right) = MN\\
\left(\alpha \right) \cap \left({ACD} \right) = PQ\\
\left(\alpha \right) \cap \left({BCD} \right) = PN
\end{array} \right.\) nên thiết diện là tứ giác MNPQ.
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left(\alpha \right) \cap \left({ACD} \right) = PQ\\
AC//\left(\alpha \right)\\
AC \subset \left({ACD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow PQ//AC\).
Mà MN//AC (câu a) nên MN//PQ.
Lại có: MQ//BD, NP//BD (câu a) nên MQ//NP.
Tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.