Google
Câu hỏi: Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của các hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\). Chứng minh rằng đường thằng \(OO'\) song song với các mặt phẳng \((ADF)\) và \((BCF)\).
b) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABD\) và \(ABE\). Chứng minh đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \((CEF)\).
a) Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của các hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\). Chứng minh rằng đường thằng \(OO'\) song song với các mặt phẳng \((ADF)\) và \((BCF)\).
b) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABD\) và \(ABE\). Chứng minh đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \((CEF)\).
Phương pháp giải
Muốn chứng minh 1 đường thẳng song song với một mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng song song với một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
A) O là tâm hbh ABCD nên O là trung điểm AC, BD.
O' là tâm hbh ABEF nên O là trung điểm AE, BF.
Tam giác DBF có \(OO'\) là đường trung bình nên \(OO' // DF\).
\(DF\) nằm trong mặt phẳng \((ADF)\) nên \(OO' // mp(ADF)\).
ΔAEC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // EC, mà EC ⊂ (BCE)
⇒ OO’ // (BCE).
b) Ta thấy mp(CEF) chính là mp(CEFD).
Gọi \(J\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\).
Ta có:
M là trọng tâm ΔABD \( \Rightarrow \frac{{JM}}{{JD}} = \frac{1}{3}\)
N là trọng tâm ΔABE \( \Rightarrow \frac{{JN}}{{JE}} = \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow {{JM}\over{JD}}={{JN}\over{JE}}={1\over3}\Rightarrow MN//ED\)
\(ED\subset (CEFD) \Rightarrow MN//(CEFD)\) hay MN//(CEF).
Muốn chứng minh 1 đường thẳng song song với một mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng song song với một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
A) O là tâm hbh ABCD nên O là trung điểm AC, BD.
O' là tâm hbh ABEF nên O là trung điểm AE, BF.
Tam giác DBF có \(OO'\) là đường trung bình nên \(OO' // DF\).
\(DF\) nằm trong mặt phẳng \((ADF)\) nên \(OO' // mp(ADF)\).
ΔAEC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // EC, mà EC ⊂ (BCE)
⇒ OO’ // (BCE).
b) Ta thấy mp(CEF) chính là mp(CEFD).
Gọi \(J\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\).
Ta có:
M là trọng tâm ΔABD \( \Rightarrow \frac{{JM}}{{JD}} = \frac{1}{3}\)
N là trọng tâm ΔABE \( \Rightarrow \frac{{JN}}{{JE}} = \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow {{JM}\over{JD}}={{JN}\over{JE}}={1\over3}\Rightarrow MN//ED\)
\(ED\subset (CEFD) \Rightarrow MN//(CEFD)\) hay MN//(CEF).