Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(2; 0)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x+y-2=0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép quay tâm \(O\) góc \(90^{\circ}\).
Phương pháp giải
Sử dụng hình vẽ trên mặt phẳng tọa độ Oxy và dựa vào định nghĩa phép quay.
Lời giải chi tiết
* Ta có A(2; 0) thuộc tia Ox.
Gọi Q(O, 90º) (A) = B thì B thuộc tia Oy và OA = OB nên B(0; 2).
* Lấy \(A(2; 0), B(0; 2)\) thuộc \(d\)
Ta có: \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(A \right) = B\)\(\Rightarrow B\left( {0; 2} \right)\)
\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(B \right) = A'\)\(\Rightarrow A'\left( {-2; 0} \right)\)
Do đó \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\) biến đường thẳng \(AB\) thành đường thẳng \(BA'\) hay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(BA'\).
Mà \(B\left( {0; 2} \right), A'\left({ - 2; 0} \right)\) nên đường thẳng \(A'B\) có phương trình \(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{2} = 1\)
\(\Leftrightarrow - x + y = 2\) \(\Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)
Chú ý: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn \(A\left( {a; 0} \right), B\left({0; b} \right)\) \(\Rightarrow AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) với \(ab \ne 0\).
Cách khác:
Gọi d' là ảnh của d qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\)
Dễ thấy A(2; 0) thuộc d vì 2+0-2=0.
\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(A \right) = B\)\(\Rightarrow B\left( {0; 2} \right)\) thuộc d'.
Do \(d' = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(d \right)\) \(\Rightarrow \left( {d, d'} \right) = {90^0} \Rightarrow d' \bot d\).
Mà \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left({1; - 1} \right)\) là VTPT của d'.
d' đi qua B(0; 2) và nhận (1;-1) làm VTPT nên có phương trình:
1(x-0)-1(y-2)=0 hay x-y+2=0.
Sử dụng hình vẽ trên mặt phẳng tọa độ Oxy và dựa vào định nghĩa phép quay.
Lời giải chi tiết
* Ta có A(2; 0) thuộc tia Ox.
Gọi Q(O, 90º) (A) = B thì B thuộc tia Oy và OA = OB nên B(0; 2).
* Lấy \(A(2; 0), B(0; 2)\) thuộc \(d\)
Ta có: \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(A \right) = B\)\(\Rightarrow B\left( {0; 2} \right)\)
\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(B \right) = A'\)\(\Rightarrow A'\left( {-2; 0} \right)\)
Do đó \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\) biến đường thẳng \(AB\) thành đường thẳng \(BA'\) hay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(BA'\).
Mà \(B\left( {0; 2} \right), A'\left({ - 2; 0} \right)\) nên đường thẳng \(A'B\) có phương trình \(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{2} = 1\)
\(\Leftrightarrow - x + y = 2\) \(\Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)
Chú ý: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn \(A\left( {a; 0} \right), B\left({0; b} \right)\) \(\Rightarrow AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) với \(ab \ne 0\).
Cách khác:
Gọi d' là ảnh của d qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\)
Dễ thấy A(2; 0) thuộc d vì 2+0-2=0.
\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(A \right) = B\)\(\Rightarrow B\left( {0; 2} \right)\) thuộc d'.
Do \(d' = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(d \right)\) \(\Rightarrow \left( {d, d'} \right) = {90^0} \Rightarrow d' \bot d\).
Mà \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left({1; - 1} \right)\) là VTPT của d'.
d' đi qua B(0; 2) và nhận (1;-1) làm VTPT nên có phương trình:
1(x-0)-1(y-2)=0 hay x-y+2=0.