Câu hỏi: Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng
Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 300.
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.
Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 300.
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.
Phương pháp giải
a) Xác định thiết diện và tính diện tích.
b) Xác định góc giữa hai bán kính và tính toán dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
c) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và trục khối trụ, từ đó tính độ dài.
Lời giải chi tiết
A) Từ A và B dựng các đường sinh AA’ và BB’ ta có thiết diện qua AB và song song với trục là hình chữ nhật AA’BB’.
Vì OO'//BB' nên góc giữa AB và OO' là góc giữa AB và BB' hay
Do đó,
Vậy
Do đó diện tích tứ giác AA’BB’ là
b) Bán kính đáy qua A là OA; bán kính đáy qua B là O'B.
Vì O'B//OB' nên góc giữa OA và O’B là góc giữa OA và OB' hay
Vì AB’ = r nên AOB’ là tam giác đều, do đó
c) Mặt phẳng (ABB’) chứa AB và song song với trục OO’ của hình trụ.
Gọi H là trung điểm của AB’. Ta có
Đường thẳng qua H song song với OO’ cắt AB tại I.
Dựng IK // HO cắt OO’ tại K.
Ta có:
Lại có
Do đó IK là đoạn vuông góc chung của AB và OO'.
Mà
a) Xác định thiết diện và tính diện tích.
b) Xác định góc giữa hai bán kính và tính toán dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
c) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và trục khối trụ, từ đó tính độ dài.
Lời giải chi tiết
A) Từ A và B dựng các đường sinh AA’ và BB’ ta có thiết diện qua AB và song song với trục là hình chữ nhật AA’BB’.
Vì OO'//BB' nên góc giữa AB và OO' là góc giữa AB và BB' hay
Do đó,
Vậy
Do đó diện tích tứ giác AA’BB’ là
b) Bán kính đáy qua A là OA; bán kính đáy qua B là O'B.
Vì O'B//OB' nên góc giữa OA và O’B là góc giữa OA và OB' hay
Vì AB’ = r nên AOB’ là tam giác đều, do đó
c) Mặt phẳng (ABB’) chứa AB và song song với trục OO’ của hình trụ.
Gọi H là trung điểm của AB’. Ta có
Đường thẳng qua H song song với OO’ cắt AB tại I.
Dựng IK // HO cắt OO’ tại K.
Ta có:
Lại có
Do đó IK là đoạn vuông góc chung của AB và OO'.
Mà