Bài 2.54 trang 86 SBT đại số và giải tích 11

Phương pháp giải
Với bài toán này ta tính xác suất bằng cách sử dụng hệ quả: Với mọi biến cố \(A\) ta có \(P(\overline{A})=1-P(A)\).
Để tính xác suất của biến cố A.
+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).
+) Tính số phần tử của biến cố A: \(n(A)\).
+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\).
Trong câu này, số phần tử trong không gian mẫu là số cách chọn ra \(2\) đề là tổ hợp chập \(2\) của \(30\), số phần tử của biến cố là số cách chọn cả \(2\) đề đều là đề khó nên ta sử dụng tổ hợp để tính.
Lời giải chi tiết
Chọn ngẫu nhiên \(2\) đề trong \(30\) đề nên số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=C_{30}^2\).
Gọi \(A\) là biến cố chọn ra hai đề được ít nhất một đề trung bình.
Nên ta có biến cố đối của \(A\) là chọn ra hai đề không có đề trung bình nào \(n(\overline{A})=C_{10}^2\) khi đó \(P(\overline{A})=\dfrac{n(\overline{A})}{n(\Omega)}=\dfrac{ C_{10}^2}{ C_{30}^2}=\dfrac{3}{29}\)
Theo hệ quả với mọi biến cố \(A\) ta có \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
Do đó \(P\left( A \right) = 1 - P(\overline A) \)
\(= 1 - \dfrac{3}{{29}} = \dfrac{{26}}{{29}} = \dfrac{{78}}{{87}}\)

Cách khác:
Số tất cả kết quả của phép thử là C30​2​ = 435.
Số kết quả thuận lợi cho việc chọn ra 2 đề được ít nhất 1 đề trung bình (1 đề khó, 1 đề trung bình hoặc cả 2 đề trung bình) là \(C_{10}^1. C_{20}^1 + C_{20}^2 = 390\)
Do đó xác suất cần tìm là 390/435 = 78/87.