Google
Câu hỏi: Cho hình chóp \(S. ABCD\). Lấy \(M\), \(N\) và \(P\) lần lượt là các điểm trên các đoạn \(SA\), \(AB\) và \(BC\) sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng \((MNP)\) với các cạnh của hình chóp.
Phương pháp giải
Ta lần lượt tìm giao điểm của mặt phẳng \((MNP)\) với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
Muốn tìm giao điểm của mặt phẳng \((\alpha)\) với đường thẳng \(d\):
- Tìm đường thẳng \(d’\) sao cho \(d’\in (\alpha)\) và \(d, d’\) cùng thuộc một mặt phẳng.
- Giao điểm \(d\) và \(d’\) là giao điểm của mặt phẳng \((\alpha)\) với đường thẳng \(d\).
Lời giải chi tiết
Ta có giao điểm của \((MNP)\) với \(SA, AB, BC\) lần lượt là \(M, N, P\).
Trong \((SAB)\) kéo dài \(MN\) và \(SB\), khi đó gọi \(I=MN\cap SB\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in MN, MN \subset (MNP) \Rightarrow I \in (MNP)\\I \in SB\end{array} \right.\\ \Rightarrow I = (MNP) \cap SB\end{array}\)
Trong \((ABCD)\) kéo dài \(NP\) và kéo dài \(CD\), khi đó gọi \(E=NP\cap CD\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}E \in NP, NP \subset (MNP) \Rightarrow E \in (MNP)\\E \in CD\end{array} \right.\\ \Rightarrow E = (MNP) \cap CD\end{array}\)
Trong \((MNP)\) hay cũng là \((MIP)\) kéo dài \(IP\), khi đó gọi \(J=IP\cap SC\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}J \in IP, IP \subset (MNP) \Rightarrow J \in (MNP)\\J \in SC\end{array} \right.\\ \Rightarrow J = (MNP) \cap SC\end{array}\)
Trong \((SCD)\) kéo dài \(EJ\) gọi \(K=EJ\cap SD\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}K \in {\rm{EJ}},{\rm{EJ}} \subset (MNP) \Rightarrow K \in (MNP)\\K \in SD\end{array} \right.\\ \Rightarrow K = (MNP) \cap SD\end{array}\).
Chú ý:
Trong bài này ta chỉ xét trường hợp thông thường là khi lấy các điểm bất kì mà khi kéo dài các đường thẳng có thể cắt nhau, tức là MN cắt được SB. Còn trường hợp MN//SB thì thuộc nội dung các bài sau nên ta không xét đến.
Ta lần lượt tìm giao điểm của mặt phẳng \((MNP)\) với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
Muốn tìm giao điểm của mặt phẳng \((\alpha)\) với đường thẳng \(d\):
- Tìm đường thẳng \(d’\) sao cho \(d’\in (\alpha)\) và \(d, d’\) cùng thuộc một mặt phẳng.
- Giao điểm \(d\) và \(d’\) là giao điểm của mặt phẳng \((\alpha)\) với đường thẳng \(d\).
Lời giải chi tiết
Ta có giao điểm của \((MNP)\) với \(SA, AB, BC\) lần lượt là \(M, N, P\).
Trong \((SAB)\) kéo dài \(MN\) và \(SB\), khi đó gọi \(I=MN\cap SB\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in MN, MN \subset (MNP) \Rightarrow I \in (MNP)\\I \in SB\end{array} \right.\\ \Rightarrow I = (MNP) \cap SB\end{array}\)
Trong \((ABCD)\) kéo dài \(NP\) và kéo dài \(CD\), khi đó gọi \(E=NP\cap CD\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}E \in NP, NP \subset (MNP) \Rightarrow E \in (MNP)\\E \in CD\end{array} \right.\\ \Rightarrow E = (MNP) \cap CD\end{array}\)
Trong \((MNP)\) hay cũng là \((MIP)\) kéo dài \(IP\), khi đó gọi \(J=IP\cap SC\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}J \in IP, IP \subset (MNP) \Rightarrow J \in (MNP)\\J \in SC\end{array} \right.\\ \Rightarrow J = (MNP) \cap SC\end{array}\)
Trong \((SCD)\) kéo dài \(EJ\) gọi \(K=EJ\cap SD\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}K \in {\rm{EJ}},{\rm{EJ}} \subset (MNP) \Rightarrow K \in (MNP)\\K \in SD\end{array} \right.\\ \Rightarrow K = (MNP) \cap SD\end{array}\).
Chú ý:
Trong bài này ta chỉ xét trường hợp thông thường là khi lấy các điểm bất kì mà khi kéo dài các đường thẳng có thể cắt nhau, tức là MN cắt được SB. Còn trường hợp MN//SB thì thuộc nội dung các bài sau nên ta không xét đến.