Google
Câu hỏi: Hệ số của \(x^{25}y^{10}\) trong khai triển của \({(x^3+xy)}^{15}\) là:
A. \(C_{15}^5\)
B. \(C_{25}^{10}\)
C. \(C_{15}^{10}\)
D. \(C_{25}^{15}\)
A. \(C_{15}^5\)
B. \(C_{25}^{10}\)
C. \(C_{15}^{10}\)
D. \(C_{25}^{15}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức SHTQ trong khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {a + b} \right)^n} \) là:
\(T_{k+1}= C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) với \(a=x^3, b=xy, n=15\).
Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số, lũy thừa của lũy thừa, lũy thừa của một tích: \(x^m. X^n=x^{m+n}\); \(\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\); \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}\); \({(x. Y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }\) để thu gọn biểu thức.
Để tìm hệ số của \(x^{25}y^{10}\) ta cho số mũ của \(x\) bằng \(25\) và số mũ của \(y\) bằng \(10\), giải phương trình tìm \(k\) và tính hệ số của \(x^{25}y^{10}\).
Lời giải chi tiết
SHTQ trong khai triển \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} \) là:
\(T_{k+1}= {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 - k}}{\left({xy} \right)^k} \)
\(= {C_{15}^k{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k} }\)
\(= {C_{15}^k{x^{45 - 2k}}{y^k}} \)
Vì đề yêu cầu tìm hệ số của \(x^{25}y^{10}\) khi đó \(x^{45-2k}y^k= x^{25}y^{10}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}45 - 2k = 25\\k = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10\)
Vậy hệ số của \(x^{25}y^{10}\) là \(C_{15}^{10}\).
Sử dụng công thức SHTQ trong khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {a + b} \right)^n} \) là:
\(T_{k+1}= C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) với \(a=x^3, b=xy, n=15\).
Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số, lũy thừa của lũy thừa, lũy thừa của một tích: \(x^m. X^n=x^{m+n}\); \(\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\); \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}\); \({(x. Y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }\) để thu gọn biểu thức.
Để tìm hệ số của \(x^{25}y^{10}\) ta cho số mũ của \(x\) bằng \(25\) và số mũ của \(y\) bằng \(10\), giải phương trình tìm \(k\) và tính hệ số của \(x^{25}y^{10}\).
Lời giải chi tiết
SHTQ trong khai triển \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} \) là:
\(T_{k+1}= {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 - k}}{\left({xy} \right)^k} \)
\(= {C_{15}^k{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k} }\)
\(= {C_{15}^k{x^{45 - 2k}}{y^k}} \)
Vì đề yêu cầu tìm hệ số của \(x^{25}y^{10}\) khi đó \(x^{45-2k}y^k= x^{25}y^{10}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}45 - 2k = 25\\k = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10\)
Vậy hệ số của \(x^{25}y^{10}\) là \(C_{15}^{10}\).
Đáp án C.