Google
Câu hỏi: Trong khai triển \({\left( {1 + ax} \right)^n}\) ta có số hạng đầu là \(1\), số hạng thứ hai là \(24x\), số hạng thứ ba là \(252{x^2}\). Hãy tìm \(a\) và \(n\).
Phương pháp giải
Sử dụng công thức Nhị thức Niu-tơn:
\({\left( {a + b} \right)^n} \)
\(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \)
\(+ C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Với \(a=1\), \(b=ax\) sau đó đồng nhất các số hạng thứ nhất, thứ 2, thứ 3 với các giá trị cho ở đề bài.
Sử dụng công thức lũy thừa của một tích: \({(x. Y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }\) để thu gọn biểu thức.
Sử dụng công thức: \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
= C_n^0{. 1^n} + C_n^1{. 1^{n - 1}}.{\left({ax} \right)^1} + C_n^2{. 1^{n - 2}}.{\left({ax} \right)^2} + \\
+ ... + C_n^{n - 1}{. 1^1}.{\left({ax} \right)^{n - 1}} + C_n^n.{\left({ax} \right)^n}\\
= 1 + C_n^1ax + C_n^2{\left({ax} \right)^2} + ... + \\
+ C_n^{n - 1}{\left({ax} \right)^{n - 1}} + C_n^n{\left({ax} \right)^n}
\end{array}\)
\(= 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...\)
Theo bài ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}C_n^1a = 24\\C_n^2{a^2} = 252\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\dfrac{{n\left( {n - 1} \right){a^2}}}{2} = 252\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
na = 24\\
\frac{{24\left({n - 1} \right)a}}{2} = 252
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\left( {n - 1} \right)a = 21\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
na = 24\\
na - a = 21
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
na = 24\\
24 - a = 21
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\n = 8.\end{array} \right.\)
Sử dụng công thức Nhị thức Niu-tơn:
\({\left( {a + b} \right)^n} \)
\(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \)
\(+ C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Với \(a=1\), \(b=ax\) sau đó đồng nhất các số hạng thứ nhất, thứ 2, thứ 3 với các giá trị cho ở đề bài.
Sử dụng công thức lũy thừa của một tích: \({(x. Y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }\) để thu gọn biểu thức.
Sử dụng công thức: \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
= C_n^0{. 1^n} + C_n^1{. 1^{n - 1}}.{\left({ax} \right)^1} + C_n^2{. 1^{n - 2}}.{\left({ax} \right)^2} + \\
+ ... + C_n^{n - 1}{. 1^1}.{\left({ax} \right)^{n - 1}} + C_n^n.{\left({ax} \right)^n}\\
= 1 + C_n^1ax + C_n^2{\left({ax} \right)^2} + ... + \\
+ C_n^{n - 1}{\left({ax} \right)^{n - 1}} + C_n^n{\left({ax} \right)^n}
\end{array}\)
\(= 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...\)
Theo bài ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}C_n^1a = 24\\C_n^2{a^2} = 252\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\dfrac{{n\left( {n - 1} \right){a^2}}}{2} = 252\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
na = 24\\
\frac{{24\left({n - 1} \right)a}}{2} = 252
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\left( {n - 1} \right)a = 21\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
na = 24\\
na - a = 21
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
na = 24\\
24 - a = 21
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\n = 8.\end{array} \right.\)