Bài 2.20 trang 71 SBT hình học 11

Câu hỏi: Cho tứ diện \(ABCD\). Qua điểm \(M\) nằm trên \(AC\) ta dựng một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(AB\) và \(CD\). Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh \(BC\), \(BD\) và \(AD\) tại \(N\), \(P\) và \(Q\).

Câu a​

Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì?
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất: Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\). Nếu mặt phẳng \((\beta)\) chứa \(d\) và cắt \((\alpha)\) theo giao tuyến \(d’\) thì \(d’\parallel d\).
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}d\parallel (\alpha)\\d \subset (\beta)\\(\alpha) \cap (\beta) = d'\end{array} \right.\\ \Rightarrow d\parallel d'\end{array}\)
Lời giải chi tiết:

Ta có:
\(\left\{\begin{array}{l}(\alpha)\parallel AB\\AB \subset (ABC)\\(\alpha) \cap (ABC) = MN\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow MN\parallel AB\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}(\alpha)\parallel CD\\CD \subset (BCD)\\(\alpha) \cap (BCD) = NP\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow CD\parallel NP\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}(\alpha)\parallel AB\\AB \subset (ABD)\\(\alpha)\cap (ABD) = PQ\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow PQ\parallel AB\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}(\alpha)\parallel CD\\CD \subset (ACD)\\(\alpha)\cap (ACD) = MQ\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow MQ\parallel CD\)
Do đó \(MN\parallel PQ\) và \(NP\parallel MQ\).
Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.

Câu b​

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của tứ giác \(MNPQ\). Tìm tập hợp các điểm \(O\) khi \(M\) di động trên đoạn \(AC\).
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý Talet
Lời giải chi tiết:
Ta có \(MP\cap NQ=O\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).
Trong tam giác \(ACD\) có \(MQ\parallel CD\) \(\Rightarrow AI\cap MQ=E, E\) là trung điểm của \(MQ\).
Trong tam giác \(BCD\) có \(NP\parallel CD\) \(\Rightarrow BI\cap NP=F, F\) là trung điểm của \(MQ\).
Khi đó \(EF\) là đường trung bình của hình bình hành \(MNPQ\) \(\Rightarrow EF\parallel MN\) và \(O\) là trung điểm của \(EF\).
Trong tam giác \(ABI\) có \(EF\parallel AB\), \(O\) là trung điểm của \(EF\) khi đó \(IO\cap AB=J, J\) là trung điểm của \(AB\).
\(\Rightarrow I, O, J\) thẳng hàng, \(O\) thuộc \(IJ\) cố định.
Vì \(M\) di động trên \(AC\) nên \(O\) chạy trong đoạn \(IJ\).
Vậy tập hợp các điểm \(O\) là đoạn \(IJ\).