Google
Câu hỏi: Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ \).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn.
b) So sánh độ dài \(AC\) và \(BD.\) Nếu \(AC = BD\) thì tứ giác \(ABCD\) là hình gì?
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn.
b) So sánh độ dài \(AC\) và \(BD.\) Nếu \(AC = BD\) thì tứ giác \(ABCD\) là hình gì?
Phương pháp giải
Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC.\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường trung tuyến nên:
\(BM =MA=MC= \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất tam giác vuông)
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) có \(DM\) là đường trung tuyến nên:
\(DM =MA=MC= \dfrac{1 }{ 2}AC\) (tính chất tam giác vuông)
Suy ra: \(MA = MB = MC = MD.\)
Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \(\dfrac{1}{2}AC\).
b) \(BD\) là dây của đường tròn (M), còn \(AC\) là đường kính nên \(AC \ge BD\)
\(AC = BD\) khi và chỉ khi \(BD\) cũng là đường kính, khi đó \(ABCD\) là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và giao nhau tại trung điểm M của mỗi đường).
Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC.\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường trung tuyến nên:
\(BM =MA=MC= \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất tam giác vuông)
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) có \(DM\) là đường trung tuyến nên:
\(DM =MA=MC= \dfrac{1 }{ 2}AC\) (tính chất tam giác vuông)
Suy ra: \(MA = MB = MC = MD.\)
Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \(\dfrac{1}{2}AC\).
b) \(BD\) là dây của đường tròn (M), còn \(AC\) là đường kính nên \(AC \ge BD\)
\(AC = BD\) khi và chỉ khi \(BD\) cũng là đường kính, khi đó \(ABCD\) là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và giao nhau tại trung điểm M của mỗi đường).