Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

Câu a​

Đi qua ba điểm ;
Phương pháp giải:
MP đi qua 3 điểm M, N, P thì đi qua M và có VTPT cùng phương với véc tơ
Lời giải chi tiết:
Ta có: .
Suy ra .
Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là .
Mp(MNP) đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

Câu b​

Đi qua hai điểm và song song với trục Oz ;
Phương pháp giải:
MP đi qua hai điểm A, B và song song Oz thì có VTPT cùng phương với
Lời giải chi tiết:
Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến vuông góc vói và vuông góc với nên:

(P) qua  và có vectơ pháp tuyến nên (P) có phương trình:

Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với A2​ + B2​ ≠ 0
Vì mặt phẳng này đi qua A(1,1, -1) và B(5,2,1) nên ta có:
⇒ 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại)
Vậy A ≠ 0, ta chọn A = 1 ⇒ B = -4, và D = 3
Vậy phương trình mặt phẳng là: x – 4y + 3 = 0

Câu c​

Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến .
qua song song với nên có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó :
Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3,2, -1) nên ta có:
3 - 5.2 + (-1) + D = 0 ⇔ D = 8
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 5y + z + 8 = 0

Câu d​

Đi qua hai điểm A(0; 1 ; 1), B(- 1; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;
Phương pháp giải:
MP đi qua hai điểm A, B và vuông góc thì nhận làm VTPT.
Lời giải chi tiết:
Ta có
: có vectơ pháp tuyến .
đi qua A, B và vuông góc với nên vectơ pháp tuyến của vuông góc với và vuông góc với nên ta có thể chọn:

Vậy (P):

Câu e​

Đi qua điểm M(a; b ; c) (với ) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng đi qua  song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là nên có phương trình:
Tương tự mặt phẳng đi qua song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

Câu g​

Đi qua điểm G(1; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
Lời giải chi tiết:
Giả sử .
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

Vậy mp(ABC): .

Câu h​

Đi qua điểm H(2; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm  khi và chỉ khi .
Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là nên có phương trình :

Cách khác:
Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0,0); B(0, b, 0); C(0,0, c).
Ta có:

Vì H(2,1,1) là trực tâm ΔABC nên
Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:

Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2,1,1) nên ta có:
2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0