Google
Câu hỏi:
\(y = x + 1 + {4 \over {x + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 1} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên TCĐ: \(x = - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0\) nên TCX: \(y = x + 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left({x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left({x + 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left({x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left({x + 1} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; 1} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3,{y_{CD}} = - 4\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \({y_{CT}} = 4\).
+) Đồ thị:
Lời giải chi tiết:
Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận.
Tọa độ của I thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow I\left( { - 1; 0} \right)\).
Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y\end{array} \right.\)
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ \(IXY\) là:
\(\begin{array}{l}Y = X - 1 + 1 + \frac{4}{{X - 1 + 1}}\\ \Leftrightarrow Y = X + \frac{4}{X}\end{array}\)
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng.
Câu a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số\(y = x + 1 + {4 \over {x + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 1} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên TCĐ: \(x = - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0\) nên TCX: \(y = x + 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left({x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left({x + 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left({x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left({x + 1} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; 1} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3,{y_{CD}} = - 4\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \({y_{CT}} = 4\).
+) Đồ thị:
Câu b
Chứng minh rằng với mọi giao điểm I của hai đường tiệm cận của (H) làm tâm đối xứng của (H).Lời giải chi tiết:
Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận.
Tọa độ của I thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow I\left( { - 1; 0} \right)\).
Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y\end{array} \right.\)
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ \(IXY\) là:
\(\begin{array}{l}Y = X - 1 + 1 + \frac{4}{{X - 1 + 1}}\\ \Leftrightarrow Y = X + \frac{4}{X}\end{array}\)
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!