Google
Câu hỏi:
\(y = - {x^3} + mx + n\)
Đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1; 4).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 3{x^2} + m\\f''\left(x \right) = - 6x\end{array}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( { - 1} \right) = 0\\f''\left({ - 1} \right) > 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m = 0\\ - 6.\left({ - 1} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\6 > 0\left({dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)
Do đó \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3x + n\).
Đồ thị đi qua \(\left( {1; 4} \right)\) \(\Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 4\)
\(\Leftrightarrow - {1^3} + 3.1 + n = 4\)
\(\Leftrightarrow 2 + n = 4 \Leftrightarrow n = 2\)
Vậy \(m = 3, n = 2\).
Lời giải chi tiết:
Với \(m = 3, n = 2\) ta có \(y = - {x^3} + 3x + 2\)
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \)
\(\begin{array}{l}y' = - 3{x^2} + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1; 1} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 4\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1,{y_{CT}} = 0\).
+) Đồ thị:
\(\begin{array}{l}y'' = - 6x\\y'' = 0 \Leftrightarrow - 6x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y\left( 0 \right) = 2\end{array}\)
Điểm uốn \(I\left( {0; 2} \right)\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; 2} \right)\), đi qua điểm \(\left( { - 2; 4} \right)\).
Điểm cực đại \(\left( {1; 4} \right)\) và điểm cực tiểu \(\left( { - 1; 0} \right)\).
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l} - {x^3} + 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left({x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left( {2; 0} \right)\) và tiếp xúc trục hoành tại điểm \(\left( { - 1; 0} \right)\).
Câu a
Tìm các hệ số m, n sao cho hàm số\(y = - {x^3} + mx + n\)
Đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1; 4).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 3{x^2} + m\\f''\left(x \right) = - 6x\end{array}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( { - 1} \right) = 0\\f''\left({ - 1} \right) > 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m = 0\\ - 6.\left({ - 1} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\6 > 0\left({dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)
Do đó \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3x + n\).
Đồ thị đi qua \(\left( {1; 4} \right)\) \(\Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 4\)
\(\Leftrightarrow - {1^3} + 3.1 + n = 4\)
\(\Leftrightarrow 2 + n = 4 \Leftrightarrow n = 2\)
Vậy \(m = 3, n = 2\).
Câu b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị m, n vừa tìm được.Lời giải chi tiết:
Với \(m = 3, n = 2\) ta có \(y = - {x^3} + 3x + 2\)
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \)
\(\begin{array}{l}y' = - 3{x^2} + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1; 1} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 4\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1,{y_{CT}} = 0\).
+) Đồ thị:
\(\begin{array}{l}y'' = - 6x\\y'' = 0 \Leftrightarrow - 6x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y\left( 0 \right) = 2\end{array}\)
Điểm uốn \(I\left( {0; 2} \right)\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; 2} \right)\), đi qua điểm \(\left( { - 2; 4} \right)\).
Điểm cực đại \(\left( {1; 4} \right)\) và điểm cực tiểu \(\left( { - 1; 0} \right)\).
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l} - {x^3} + 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left({x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left( {2; 0} \right)\) và tiếp xúc trục hoành tại điểm \(\left( { - 1; 0} \right)\).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!