Bài 1.15 trang 23 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Giải các phương trình:

Câu a​

\(\cos(x+3) =\dfrac{1}{3}\)
Phương pháp giải:
Phương trình \(\cos x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là
\(x=\pm\arccos a+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết:
\(\cos(x+3) =\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow x+3 = \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi \)
\(\Leftrightarrow x =-3 \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là
\(x =-3 \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)

Câu b​

\(\cos(3x-45^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Phương pháp giải:
Phương trình \(\cos x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) có \(\beta^o\) thỏa mãn \(\cos\beta^o=a\)
trong đó \(\beta^o=\arccos a\)
Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\pm\beta^o+k{360}^o, k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos {30}^o\)
Khi đó: \(\cos(3x-45^o)=\cos {30}^o\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - {45^0} = {30^0} + k{360^0}\\
3x - {45^0} = - {30^0} + k{360^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = {75^0} + k{360^0}\\
3x = {15^0} + k{360^0}
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x= {25}^o+k{120}^o , k \in \mathbb{Z}\\x= {5}^o+k{120}^o , k \in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy nghiệm của phương trình là:
\(x= {25}^o+k{120}^o , k \in \mathbb{Z}\)
và \(x= {5}^o+k{120}^o , k \in\mathbb{Z} \)

Câu c​

\(\cos(2x+\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}\)
Phương pháp giải:
Phương trình \(\cos x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là
\(x=\pm\arccos a+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(-\dfrac{1}{2}=\cos \dfrac{2\pi}{3}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\cos \left({2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{3} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
2x = - \pi + k2\pi 
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
và \(x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

Câu d​

\((2+\cos x)(3\cos2x-1)=0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(f(x)g(x)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} f(x) = 0\\g(x) = 0\end{array} \right.\)
Phương trình \(\cos x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là
\(x=\pm\arccos a+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \((2+\cos x)(3\cos2x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} 2+\cos x = 0 (1)\\3\cos2x-1 = 0 (2)\end{array} \right.\)
\((1)\Leftrightarrow \cos x = -2\) (vô nghiệm)
\((2)\Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow 2x = \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1}{3}+k\pi , k\in\mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của phương trình là:
\(x = \pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1}{3}+k\pi , k\in\mathbb{Z}\)