Bài 1.14 trang 23 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Giải các phương trình:

Câu a​

\(\sin 3x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Phương pháp giải:
Phương trình \(\sin x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là
\(x=\arcsin a+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)
và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin(\arcsin(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}))\)
\(=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)
Khi đó: \(\sin 3x=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = -\dfrac{\pi}{3}+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-({-\dfrac{\pi}{3}})+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} , k \in \mathbb{Z}\\ x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} , k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} , k \in \mathbb{Z}\)

Câu b​

\(\sin (2x-15^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Phương pháp giải:
Phương trình \(sin x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) có \(\beta^o\) thỏa mãn \(\sin\beta^o=a\)
trong đó \(\beta^o=\arcsin a\)
Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\beta^o+k{360}^o, k \in \mathbb{Z}\)
và \(x={180}^o-\beta^o+k{360}^o, k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin ({45}^o)\)
Khi đó: \(\sin(2x-{15}^o)=\sin ({45}^o)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x-{15}^o = {45}^o+k{360}^o , k \in \mathbb{Z}\\ 2x-{15}^o = {135}^o+k{360}^o , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {30}^o+k{180}^o , k \in \mathbb{Z}\\ x = {75}^o+k{180}^o , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy nghiệm của phương trình là:
\(x = {30}^o+k{180}^o , k \in \mathbb{Z}\) và \(x = {75}^o+k{180}^o , k \in \mathbb{Z}\)

Câu c​

\(\sin (\dfrac{x}{2}+10^o)=-\dfrac{1}{2}\)
Phương pháp giải:
Phương trình \(sin x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) có \(\beta^o\) thỏa mãn \(\sin\beta^o=a\)
trong đó \(\beta^o=\arcsin a\)
Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\beta^o+k{360}^o, k \in \mathbb{Z}\)
và \(x={180}^o-\beta^o+k{360}^o, k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(-\dfrac{1}{2}=\sin (-{30}^o)\)
Khi đó: \(\sin(\dfrac{x}{2}+{10}^o)=\sin (-{30}^o)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2}+{10}^o = -{30}^o+k{360}^o , k \in \mathbb{Z}\\ \dfrac{x}{2}+{10}^o = {210}^o+k{360}^o , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -{80}^o+k{720}^o , k \in \mathbb{Z}\\ x = {400}^o+k{720}^o , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy nghiệm của phương trình là:
\(x = -{80}^o+k{720}^o , k \in \mathbb{Z}\)
và \(x = {400}^o+k{720}^o , k \in \mathbb{Z}\)

Câu d​

\(\sin 4x=\dfrac{2}{3}\).
Phương pháp giải:
Phương trình \(sin x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) có \(\alpha\) thỏa mãn \(\sin\alpha=a\)
trong đó \(\alpha=\arcsin a\)
Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\arcsin a+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)
và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\dfrac{2}{3}=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)
Khi đó: \(\sin 4x=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\\4x= \pi-\arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} , k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} , k \in \mathbb{Z}\)
và \(x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} , k \in \mathbb{Z}\)