Bài 1.11 trang 14 SBT đại số và giải tích 11

Phương pháp giải
Sử dụng công thức tổng thành tích để rút gọn hàm số.
Hàm số \(y=\cos x\) có \(\cos x\le 1\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(y=1-\cos x - \sin x\)
\(=1-(\cos x + \sin x)\)
\(=1-[ \cos x + \cos (\dfrac{\pi }{2} - x)]\)
\(=1 - 2\cos \dfrac{\pi }{4}\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)
\(= 1 - 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)
\(=1- \sqrt 2 \cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)
Mà \(\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\le 1\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - \sqrt 2 \cos \left({x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge - \sqrt 2 \\
\Rightarrow 1 - \sqrt 2 \cos \left({x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge 1 - \sqrt 2
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow y\ge 1-\sqrt2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(1-\sqrt 2 \) đạt được khi \(x = \dfrac{\pi }{4}\).

Chú ý:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất.
Mà (cosx + sinx)2​ = 1 + sin2x ≤ 2.
Giá trị lớn nhất của (cosx + sinx)2​ bằng 2, đạt được khi sin2x = 1.
Vậy cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất bằng √2.
Từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho.