Google
Câu hỏi: Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài 4 m để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi $r$ là bán kính của nửa đường tròn. Tìm $r$ (theo mét) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.
A. 1 m.
B. 0,5 m.
C. $\dfrac{4}{\pi +4}$ m.
D. $\dfrac{2}{4+\pi }$ m.
A. 1 m.
B. 0,5 m.
C. $\dfrac{4}{\pi +4}$ m.
D. $\dfrac{2}{4+\pi }$ m.
Vì thanh kim loại dài 4 m nên ta có: $2h+2r+\pi r=4\Rightarrow h=\dfrac{4-2r-\pi r}{2}$
Diện tích của khung cửa sổ là $S=\dfrac{1}{2}\pi {{r}^{2}}+2rh=\dfrac{1}{2}\pi {{r}^{2}}+2r.\dfrac{4-2r-\pi r}{2}=-\dfrac{\pi +4}{2}.{{r}^{2}}+4r$
Xét hàm số $S\left( r \right)=-\dfrac{\pi +4}{2}.{{r}^{2}}+4r$ trên khoảng $\left( 0;2 \right)$
$S'\left( r \right)=-\left( \pi +4 \right)r+4=0\Leftrightarrow -\left( \pi +4 \right)r=-4\Leftrightarrow r=\dfrac{4}{\pi +4}$
Bảng biến thiên:
Ta có: $\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} S=S\left( \dfrac{4}{\pi +4} \right)=\dfrac{8}{\pi +4}>0$ (thỏa mãn)
Vậy với $r=\dfrac{4}{\pi +4}$ thì diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.
Diện tích của khung cửa sổ là $S=\dfrac{1}{2}\pi {{r}^{2}}+2rh=\dfrac{1}{2}\pi {{r}^{2}}+2r.\dfrac{4-2r-\pi r}{2}=-\dfrac{\pi +4}{2}.{{r}^{2}}+4r$
Xét hàm số $S\left( r \right)=-\dfrac{\pi +4}{2}.{{r}^{2}}+4r$ trên khoảng $\left( 0;2 \right)$
$S'\left( r \right)=-\left( \pi +4 \right)r+4=0\Leftrightarrow -\left( \pi +4 \right)r=-4\Leftrightarrow r=\dfrac{4}{\pi +4}$
Bảng biến thiên:
Ta có: $\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} S=S\left( \dfrac{4}{\pi +4} \right)=\dfrac{8}{\pi +4}>0$ (thỏa mãn)
Vậy với $r=\dfrac{4}{\pi +4}$ thì diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án C.