f biến thiên Hỏi hệ số công suất của mạch $AB$ lớn nhất có thể trong $3$ lần thay đổi tần số đạt giá trị nào?

hoankuty · 12/12/14

Bài toán
Mạch điện xoay chiều gồm $AM$ và $MB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AM$ gồm tụ điện nối tiếp điện trở $R$ ,$MB$ gồm cuộc dây có điện trở $r=R$. Đặt vào 2 đầu đoạn mạch $AB$ một điện áp xoay chiều có hiệu điện thế hiệu dụng $U$ và tần số thay đổi được, thì điện áp tức thời trên $AM$ và $MB$ luôn lệch góc .$\dfrac{\pi }{2}$. Khi $\omega =\omega _{1}$ thì điện áp hiệu dụng trên $AM$ là $U_{1}$ và trễ pha hơn $AB$ góc $\alpha _{1}$. Khi $\omega =\omega _{2}$ thì điện áp hiệu dụng trên $AM$ là $U_{2}$ và trễ pha hơn $AB$ góc $\alpha _{2}$. Khi $\omega =\omega _{3}$ thì điện áp hiệu dụng trên $AM$ là $U_{3}$ và trễ pha hơn $AB$ góc $\alpha _{3}$. Biết rằng $U_{1}+U_{2}+U_{3}>U$ và sự chênh lệch giữa $2$ trong $3$ đại lượng $\alpha _{1};\alpha _{2};\alpha _{3}$ không vượt quá $\dfrac{\pi }{27}$. Hỏi hệ số công suất của mạch $AB$ lớn nhất có thể trong $3$ lần thay đổi tần số đạt giá trị nào?
A. $1$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}$
C. $\dfrac{5}{12}$
D. $\dfrac{3}{4}$

NTH 52 · 22/12/14

hoankuty đã viết:
Bài toán
Mạch điện xoay chiều gồm $AM$ và $MB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AM$ gồm tụ điện nối tiếp điện trở $R$ ,$MB$ gồm cuộc dây có điện trở $r=R$. Đặt vào 2 đầu đoạn mạch $AB$ một điện áp xoay chiều có hiệu điện thế hiệu dụng $U$ và tần số thay đổi được, thì điện áp tức thời trên $AM$ và $MB$ luôn lệch góc .$\dfrac{\pi }{2}$. Khi $\omega =\omega _{1}$ thì điện áp hiệu dụng trên $AM$ là $U_{1}$ và trễ pha hơn $AB$ góc $\alpha _{1}$. Khi $\omega =\omega _{2}$ thì điện áp hiệu dụng trên $AM$ là $U_{2}$ và trễ pha hơn $AB$ góc $\alpha _{2}$. Khi $\omega =\omega _{3}$ thì điện áp hiệu dụng trên $AM$ là $U_{3}$ và trễ pha hơn $AB$ góc $\alpha _{3}$. Biết rằng $U_{1}+U_{2}+U_{3}>U$ và sự chênh lệch giữa $2$ trong $3$ đại lượng bất kì $\alpha _{1};\alpha _{2};\alpha _{3}$ không vượt quá $\dfrac{\pi }{27}$. Hỏi hệ số công suất của mạch $AB$ lớn nhất có thể trong $3$ lần thay đổi tần số đạt giá trị nào?
A. $1$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}$
C. $\dfrac{5}{12}$
D. $\dfrac{3}{4}$

Lời giải
Theo bài $R = r \Rightarrow U_R=U_r$
Vẽ giản đồ vec-tơ trượt ra:
Đặt $\dfrac{U_R}{AM}=\sin \beta; \dfrac{U_r}{MB} =\cos \beta$
Từ đây, chú ý rằng $U_R=U_r$ và $u_{AM}$ vuông pha với $u_{MB}$ suy ra $\tan \beta = \dfrac{\dfrac{U_R}{AM}}{\dfrac{U_r}{MB}}=\dfrac{MB}{AM}= \tan \alpha \Rightarrow \beta = \alpha$
$\Rightarrow \varphi =2\alpha -\dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \varphi =\sin 2\alpha$ và $\cos \alpha =\dfrac{U_1}{U}$
Như vậy, bài toán đã cho được quy về bài toán dưới đây:
"Cho $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ là các góc nhọn thỏa mãn $\cos \alpha_1+ \cos \alpha_2+ \cos \alpha_3 >1$, đồng thời $|\alpha_1-\alpha_2| \leq \dfrac{\pi }{27}; |\alpha_2-\alpha_3| \leq \dfrac{\pi }{27};|\alpha_3-\alpha_1| \leq \dfrac{\pi }{27}$. Trong các đại lượng $\sin 2\alpha_1\; \sin 2\alpha_2, \sin 2\alpha_3$ thì đại lượng nào có giá trị lớn nhất là lớn hơn cả?"
P/s: Ý tưởng là như vậy, nhưng chưa ra cụ thể được, nhờ chủ thớt cùng mọi người ủng hộ chủ đề này.

hoankuty · 22/12/14

NTH 52 đã viết:
Lời giải
Theo bài $R = r \Rightarrow U_R=U_r$
Vẽ giản đồ vec-tơ trượt ra:
Đặt $\dfrac{U_R}{AM}=\sin \beta; \dfrac{U_r}{MB} =\cos \beta$
Từ đây, chú ý rằng $U_R=U_r$ và $u_{AM}$ vuông pha với $u_{MB}$ suy ra $\tan \beta = \dfrac{\dfrac{U_R}{AM}}{\dfrac{U_r}{MB}}=\dfrac{MB}{AM}= \tan \alpha \Rightarrow \beta = \alpha$
$\Rightarrow \varphi =2\alpha -\dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \varphi =\sin 2\alpha$ và $\cos \alpha =\dfrac{U_1}{U}$
Như vậy, bài toán đã cho được quy về bài toán dưới đây:
"Cho $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ là các góc nhọn thỏa mãn $\cos \alpha_1+ \cos \alpha_2+ \cos \alpha_3 >1$, đồng thời $|\alpha_1-\alpha_2| \leq \dfrac{\pi }{27}; |\alpha_2-\alpha_3| \leq \dfrac{\pi }{27};|\alpha_3-\alpha_1| \leq \dfrac{\pi }{27}$. Trong các đại lượng $\sin 2\alpha_1\; \sin 2\alpha_2, \sin 2\alpha_3$ thì đại lượng nào có giá trị lớn nhất là lớn hơn cả?"
P/s: Ý tưởng là như vậy, nhưng chưa ra cụ thể được, nhờ chủ thớt cùng mọi người ủng hộ chủ đề này.

Ta xét với một bất đẳng thức: Cho $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=\pi $ thì:

$\cos \alpha _{1}+\cos \alpha _{2}+\cos \alpha _{3}>1$

Do vậy, ta gán $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=\pi $.

Gỉa sử : $\alpha _{1}<\alpha _{2}<\alpha _{3}$

Khi đó: $3\alpha _{1}+\dfrac{2\pi }{27}>\pi \rightarrow \alpha _{1}>\dfrac{25\pi }{81}$

Kết hợp $\alpha _{1}<\dfrac{\pi }{3}$ thì $\alpha _{3}<\dfrac{\pi }{3}+\dfrac{\pi }{27}=\dfrac{10\pi }{27}$

$\Rightarrow \sin \varphi <\sin \dfrac{20\pi }{27}=0,73$

Do đó chọn C.

P/s: đây là một bài thất bại vì cách tạo ra không tự nhiên, và chủ thớt còn gõ đề bài lẫn, dẫn tới hướng đi cuối không đẹp so với ý tưởng ban đầu!

f biến thiên Hỏi hệ số công suất của mạch $AB$ lớn nhất có thể trong $3$ lần thay đổi tần số đạt giá trị nào?

hoankuty

Ngố Design

NTH 52

Bùi Đình Hiếu

hoankuty

Ngố Design

Các chủ đề tương tự

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page