2032000165798500Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left(...

Nhận xét: $\left( P \right)//\left( Q \right)$ ; $\overrightarrow{n}=\left( 2;2;1 \right)$ cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Xét $E\left( -3;-3;-1 \right)\in \left( P \right)$ và $F\left( 1;1;1 \right)\in \left( Q \right)$.
Ta có $\overrightarrow{EF}=\left( 4;4;2 \right)=2\overrightarrow{n}$. Suy ra $EF\bot \left( P \right)$ và $EF=6=d\left( E,\left( Q \right) \right)=d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)$.
Ta có $M\in \left( P \right)$, $N\in \left( Q \right)$ và $MN=6$ suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EF}$.
Gọi ${A}'$ là điểm sao cho $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{EF}$ $\Rightarrow {A}'\left( 8;6;4 \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{MN}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{{A}'N}\Rightarrow AM={A}'N$.
Do đó $AM+NB={A}'N+NB$.
Xét ${A}'N+NB$ với $N\in \left( Q \right)$. Ta thấy ${A}'$ và $B$ nằm về cùng một phía so với $\left( Q \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua $B\left( 3;7;3 \right)$ và vuông góc với $\left( Q \right)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2t \\
& y=7+2t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra hình chiếu của $B$ trên $\left( Q \right):2x+2y+z-5=0$ là $H\left( -1;3;1 \right)$.
Gọi ${B}'$ là điểm đối xứng với $B$ qua $\left( Q \right)$, suy ra $H$ là trung điểm $B{B}'$, suy ra ${B}'\left( -5;-1;-1 \right)$.
Ta có ${A}'N+NB={A}'N+N{B}'\ge {A}'{B}'=9\sqrt{3}$.
Đẳng thức xảy ra khi $N$ là giao diểm của ${A}'{B}'$ và $\left( Q \right)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $AM+NB$ là $9\sqrt{3}$.