Xét $x$, $y$, $z$ là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện...

Vì $x$, $y$, $z$ là các số thực lớn hơn $1$ nên ta có: ${{\log }_{2}}x>0$ ; ${{\log }_{2}}y>0$ ; ${{\log }_{2}}z>0$.
Theo giả thiết ta có $xyz=2\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}y+{{\log }_{2}}z=1$.
Đặt $\left\{ \begin{matrix}
{{\log }_{2}}x=a \\
{{\log }_{2}}y=b \\
{{\log }_{2}}z=c \\
\end{matrix} \right. $ với điều kiện: $ \left\{ \begin{matrix}
a,b,c>0 \\
a+b+c=1 \\
\end{matrix} \right.$.
Áp dụng bất đẳng thức ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{4}$, với mọi $a,b>0$, dấu "bằng" xảy ra khi $a=b$.
Khi đó ta có:
$S={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+\dfrac{1}{4}{{c}^{3}}\ge \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{4}+\dfrac{1}{4}{{c}^{3}}\ge \dfrac{1}{4}.\left[ \dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{4} \right]=\dfrac{1}{16}$ (vì $a+b+c=1$ ).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $S=\dfrac{1}{16}$.
Dấu "bằng" xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix}
a=b \\
a+b=c \\
a+b+c=1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=\dfrac{1}{4} \\
b=\dfrac{1}{4} \\
c=\dfrac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{\log }_{2}}x=\dfrac{1}{4} \\
{{\log }_{2}}y=\dfrac{1}{4} \\
{{\log }_{2}}z=\dfrac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=\sqrt[4]{2} \\
y=\sqrt[4]{2} \\
z=\sqrt{2} \\
\end{matrix} \right.$.