Xét tất cả các số thực $x,y$ sao cho ${{a}^{4x-{{\log...

Ta có: ${{a}^{4x-{{\log }_{5}}{{a}^{2}}}}\le {{25}^{40-{{y}^{2}}}}\Leftrightarrow {{a}^{4x-2.{{\log }_{5}}a}}\le {{5}^{2\left( 40-{{y}^{2}} \right)}}\Leftrightarrow {{\log }_{5}}{{a}^{4x-2.{{\log }_{5}}a}}\le {{\log }_{5}}{{5}^{2\left( 40-{{y}^{2}} \right)}}$
$\Leftrightarrow \left( 4x-2.{{\log }_{5}}a \right).{{\log }_{5}}a\le 2\left( 40-{{y}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow 2x.{{\log }_{5}}a-\log _{5}^{2}a\le 40-{{y}^{2}}$
$\Leftrightarrow \log _{5}^{2}a-2x.{{\log }_{5}}a+40-{{y}^{2}}\ge 0\left( 1 \right)$
Đặt $t={{\log }_{5}}a$. Vì $a>0$ nên $t\in \mathbb{R}$.
Khi đó, bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: ${{t}^{2}}-2x.t+40-{{y}^{2}}\ge 0\left( 2 \right)$
Để $\left( 1 \right)$ đúng với mọi số thực dương $a$ $\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ đúng với mọi $t\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1>0\left( \text{l} \right) \\
& {\Delta }'={{x}^{2}}-40+{{y}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 40$.
Giả sử $M\left( x;y \right)$ thuộc hình tròn $\left( C \right)$ tâm $O\left( 0;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$
Ta có: $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x-3y={{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{5}{2}={{\left( \sqrt{{{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}} \right)}^{2}}-\dfrac{5}{2}$
$\Rightarrow P=I{{M}^{2}}-\dfrac{5}{2}$ (với $I\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$ ). Để ${{P}_{\max }}\Leftrightarrow I{{M}_{\max }}$.
Ta có: $OI=\sqrt{{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}<R$ nên $I$ nằm trong hình tròn $\left( C \right)$.
Vì $M$ thuộc hình tròn $\left( C \right)$, $I$ nằm trong hình tròn $\left( C \right)$ nên
Do đó: ${{P}_{\max }}={{\left( I{{M}_{\max }} \right)}^{2}}-\dfrac{5}{2}={{\left( \dfrac{5\sqrt{10}}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{5}{2}=60.$