Google
Câu hỏi: Xét tất cả các số thực $x,y$ sao cho ${{27}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}{{a}^{3}}}}$ với mọi số thực dương $a$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y$ bằng
A. $-15$.
B. 25.
C. $-5$.
D. $-20$.
A. $-15$.
B. 25.
C. $-5$.
D. $-20$.
Giả sử điểm $M\left( x;y \right)$.
Ta có: ${{27}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}{{a}^{3}}}}\Leftrightarrow {{3}^{3\left( 5-{{y}^{2}} \right)}}\ge {{a}^{6x-3{{\log }_{3}}a}}\Leftrightarrow 3\left( 5-{{y}^{2}} \right)\ge \left( 6x-3{{\log }_{3}}a \right){{\log }_{3}}a$ $\Leftrightarrow 3\log _{3}^{2}a-6x{{\log }_{3}}a-3{{y}^{2}}+15\ge 0$, $\forall a>0$.
$\Leftrightarrow {\Delta }'=9{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}-45\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-5\le 0$ $\left( * \right)$.
Từ $\left( * \right)$ suy ra điểm $M$ thuộc hình tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$
Xét $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}-20$.
Chọn điểm $A\left( 2;-4 \right)$ suy ra $P=M{{A}^{2}}-20$.
${{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{A}_{\min }}\Leftrightarrow M\equiv {M}'$ $\Rightarrow A{{M}_{\min }}=AO-R=\sqrt{5}$ $\Rightarrow {{P}_{\min }}=-15$.
Ta có: ${{27}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}{{a}^{3}}}}\Leftrightarrow {{3}^{3\left( 5-{{y}^{2}} \right)}}\ge {{a}^{6x-3{{\log }_{3}}a}}\Leftrightarrow 3\left( 5-{{y}^{2}} \right)\ge \left( 6x-3{{\log }_{3}}a \right){{\log }_{3}}a$ $\Leftrightarrow 3\log _{3}^{2}a-6x{{\log }_{3}}a-3{{y}^{2}}+15\ge 0$, $\forall a>0$.
$\Leftrightarrow {\Delta }'=9{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}-45\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-5\le 0$ $\left( * \right)$.
Từ $\left( * \right)$ suy ra điểm $M$ thuộc hình tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$
Xét $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}-20$.
Chọn điểm $A\left( 2;-4 \right)$ suy ra $P=M{{A}^{2}}-20$.
Đáp án A.