Xét tất cả các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\dfrac{x+y}{10}+\log \left( \dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2y} \right)=1+2xy.$ Khi biểu thức...

Phương pháp:
- Xét hàm đặc trưng, rút $y$ theo $x.$
- Thế vào biểu thức $\dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}},$ sử dụng: Biểu thức $a{{x}^{2}}+bx+c\left( a>0 \right)$ đạt GTNN tại $x=-\dfrac{b}{2a}.$ Từ đó tìm $x,y.$
Cách giải:
Với $x,y$ ta có:
$\dfrac{x+y}{10}+\log \left( \dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2y} \right)=1+2xy$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{10}+\log \dfrac{x+y}{2xy}=1+2xy$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{10}+\log \left( x+y \right)-\log \left( 2xy \right)=1+2xy$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{10}+\log \left( x+y \right)-1=\log \left( 2xy \right)+2xy$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{10}+\log \dfrac{x+y}{10}=\log \left( 2xy \right)+2xy\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\log t+t\left( t>0 \right)$ ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 10}+1>0\forall t>0,$ nên hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$ Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{10}=2xy\Leftrightarrow x+y=20xy\Rightarrow y=\dfrac{x}{20x-1}.$
Ta có:
$P=\dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}=\dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{{{\left( 20x-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{400{{x}^{2}}-40x+5}{{{x}^{2}}}=400-\dfrac{40}{x}+\dfrac{5}{{{x}^{2}}}.$
Hàm số đạt GTNN khi $\dfrac{1}{x}=\dfrac{40}{2.5}=4\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\left( tm \right).$
Khi đó ${{P}_{\min }}$ khi $x=\dfrac{1}{4},y=\dfrac{1}{16}.$
Vậy $xy=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{64}.$