Google
Câu hỏi: Xét tất cả các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3i+4 \right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|$ nằm trong khoảng nào?
A. $\left( 0;1009 \right)$.
B. $\left( 1009;2018 \right)$.
C. $\left( 2018;4036 \right)$.
D. $\left( 4036;+\infty \right)$.
A. $\left( 0;1009 \right)$.
B. $\left( 1009;2018 \right)$.
C. $\left( 2018;4036 \right)$.
D. $\left( 4036;+\infty \right)$.
Ta có $1=\left| z-3i+4 \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| 3i-4 \right| \right|=\left| \left| z \right|-5 \right|\Rightarrow -1\le \left| z \right|-5\le 1\Rightarrow 4\le \left| z \right|\le 6$.
Đặt ${{z}_{0}}=4-3i\Rightarrow \left| {{z}_{0}} \right|=5,{{z}_{0}}^{2}=7-24i$.
Ta có $A={{\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|}^{2}}={{\left| {{z}^{2}}+{{z}_{o}}^{2} \right|}^{2}}=\left( {{z}^{2}}+{{z}_{o}}^{2} \right)\left( {{\overline{z}}^{2}}+{{\overline{{{z}_{o}}}}^{2}} \right)$ $={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{o}} \right|}^{4}}+{{\left( z.\overline{{{z}_{o}}}+{{z}_{o}}.\overline{z} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{o}} \right|}^{2}}$
Mà $\left( z+{{z}_{o}} \right)\left( \overline{z}+\overline{{{z}_{o}}} \right)=1\Rightarrow z.\overline{{{z}_{o}}}+{{z}_{o}}.\overline{z}=1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{o}} \right|}^{2}}$
Suy ra $A={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{o}} \right|}^{4}}+{{\left( 1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| \overline{{{z}_{o}}} \right|}^{2}} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{o}} \right|}^{2}}=2{{\left| z \right|}^{4}}-2{{\left| z \right|}^{2}}+1201$.
Hàm số $y=2{{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+1201$ đồng biến trên $\left[ 4;6 \right]$ nên $A\ge {{2.4}^{4}}-{{2.4}^{2}}+1201=1681$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left| z \right|=4 \\
& \left| z+4-3i \right|=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|$ nằm trong khoảng $\left( 1009;2018 \right)$.
Đặt ${{z}_{0}}=4-3i\Rightarrow \left| {{z}_{0}} \right|=5,{{z}_{0}}^{2}=7-24i$.
Ta có $A={{\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|}^{2}}={{\left| {{z}^{2}}+{{z}_{o}}^{2} \right|}^{2}}=\left( {{z}^{2}}+{{z}_{o}}^{2} \right)\left( {{\overline{z}}^{2}}+{{\overline{{{z}_{o}}}}^{2}} \right)$ $={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{o}} \right|}^{4}}+{{\left( z.\overline{{{z}_{o}}}+{{z}_{o}}.\overline{z} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{o}} \right|}^{2}}$
Mà $\left( z+{{z}_{o}} \right)\left( \overline{z}+\overline{{{z}_{o}}} \right)=1\Rightarrow z.\overline{{{z}_{o}}}+{{z}_{o}}.\overline{z}=1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{o}} \right|}^{2}}$
Suy ra $A={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{o}} \right|}^{4}}+{{\left( 1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| \overline{{{z}_{o}}} \right|}^{2}} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{o}} \right|}^{2}}=2{{\left| z \right|}^{4}}-2{{\left| z \right|}^{2}}+1201$.
Hàm số $y=2{{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+1201$ đồng biến trên $\left[ 4;6 \right]$ nên $A\ge {{2.4}^{4}}-{{2.4}^{2}}+1201=1681$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left| z \right|=4 \\
& \left| z+4-3i \right|=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|$ nằm trong khoảng $\left( 1009;2018 \right)$.
Đáp án B.