Xét số phức $z=a+bi\left( a,b\in R,b>0 \right)$ thỏa mãn $\left| z...

$\left| z \right|=1$ $\Rightarrow $ ${{\left| z \right|}^{2}}=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overline{z}=\dfrac{1}{z} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $b>0$ và ${{b}^{2}}=1-{{a}^{2}}$ $\Rightarrow $ $-1<a<1$.
Ta có: $\left| {{z}^{3}}-z+2 \right|$ $=\dfrac{\left| {{z}^{3}}-z+2 \right|}{\left| {{z}^{2}} \right|}$ $=\left| z-\dfrac{1}{z}+\dfrac{2}{{{z}^{2}}} \right|$ $=\left| z-\overline{z}+2{{\overline{z}}^{2}} \right|$ $=2\left| bi+{{\left( a-bi \right)}^{2}} \right|$
$=2\left| bi+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2abi \right|$ $AB=2\sqrt{6}$ $=2\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-4a{{b}^{2}}}$
= $2\sqrt{{{b}^{2}}-4a{{b}^{2}}+1}$ $=2\sqrt{1-{{a}^{2}}-4a\left( 1-{{a}^{2}} \right)+1}$ $=2\sqrt{4{{a}^{3}}-{{a}^{2}}-4a+2}$.
Xét hàm số $f\left( a \right)=4{{a}^{3}}-{{a}^{2}}-4a+2$ miền $-1<a<1$ có ${f}'\left( a \right)=12{{a}^{2}}-2a-4$.
${f}'\left( a \right)=0$ $\Leftrightarrow 12{{a}^{2}}-2a-4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& a=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:

Biểu thức trên đạt GTLN trên miền $-1<a<1$ khi $a=\dfrac{-1}{2}$ $\Rightarrow $ $b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (do $b>0$ )
.Vậy $P=2a+4{{b}^{2}}=2$