Xét khối tứ diện ABCDcó độ dài cạnh ABthay đổi, CD= 4 và các cạnh...

Cách giải:

Đặt
Gọi lần lượt là trung điểm của CDvà AB.
Do ∆ ACD, ∆ BCDcân tại Avà Bnên

Do đó:

Dễ dàng chứng minh được
⇒∆ ABMcân tại M⇒ MN⊥ AB(Đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
Xét tam giác vuông ACMcó:
Xét tam giác vuông AMNcó:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có

Suy ra Dấu "=" xảy ra
Ta có dễ dàng chứng minh được ⇒ NC= ND⇒∆ NCDcân tại N⇒ MN⊥ CD.
Do đó MNlà đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng ABvà CD.
Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tam gíac BCD, qua Okẻ đường thẳng vuông góc với ( BCD) cắt MNtại I. Ta có:

Inằm đường thẳng vuông góc với ( BCD) tại Onên IB= IC= ID.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BCMcó:

⇒ Mnằm giữa Bvà O.

Xét ∆ MNBvà ∆ MOIcó: (đối đỉnh).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CIMcó:
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là: