Google
Câu hỏi: Xét khối chóp ${S.ABC}$ có đáy ${ABC}$ là tam giác đều, ${SA}$ vuông góc với đáy, khoảng cách từ ${A}$ đến mặt phẳng ${(SBC)}$ bằng ${2}$. Gọi ${\alpha }$ là góc giữa hai mặt phẳng ${SBC}$ và ${(ABC)}$. Tính ${\cos \alpha }$ khi thể tích khối chóp ${S.ABC}$ nhỏ nhất
A. ${\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3}.}$
B. ${\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{3}.}$
C. ${\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}.}$
D. ${\cos \alpha =\dfrac{2}{3}.}$
Gọi H là trung điểm của BC, I là hình chiếu vuông góc của A lên SH.
Dễ thấy $d\left[ A;\left( SBC \right) \right]=AI=2$ và $\left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\alpha =\widehat{SHA}$
Xét tam giác SAH vuông tại A, ta có $AH=\dfrac{AI}{\sin \alpha }=\dfrac{2}{\sin \alpha },SA=\dfrac{AI}{\cos \alpha }=\dfrac{2}{\cos \alpha }$
Xét tam giác đều ABC, ta có $AB=AH\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}\sin \alpha }, {{S}_{ABC}}=A{{B}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3{{\sin }^{2}}\alpha }$
Thể tích khối chóp S.ABC là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4\sqrt{3}}{3{{\sin }^{2}}\alpha }.\dfrac{2}{\cos \alpha }=\dfrac{8\sqrt{3}}{9\left( 1-{{\cos }^{2}}\alpha \right)\cos \alpha }$
Xét hàm số $y=\left( 1-{{x}^{2}} \right)x=-{{x}^{3}}+x,x\in \left[ 0;1 \right]$
$y'=0\Leftrightarrow -3{{x}^{3}}+1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\in \left[ 0;1 \right] \\
& x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\notin \left[ 0;1 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Ta tính $y\left( 0 \right)=0,y\left( 1 \right)=0,y\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$
Vậy để thể tích hình chóp nhỏ nhất thì giá trị $\left( 1-co{{s}^{2}}\alpha \right)\cos \alpha $ lớn nhất bằng $\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ khi $\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
A. ${\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3}.}$
B. ${\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{3}.}$
C. ${\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}.}$
D. ${\cos \alpha =\dfrac{2}{3}.}$
Gọi H là trung điểm của BC, I là hình chiếu vuông góc của A lên SH.
Dễ thấy $d\left[ A;\left( SBC \right) \right]=AI=2$ và $\left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\alpha =\widehat{SHA}$
Xét tam giác SAH vuông tại A, ta có $AH=\dfrac{AI}{\sin \alpha }=\dfrac{2}{\sin \alpha },SA=\dfrac{AI}{\cos \alpha }=\dfrac{2}{\cos \alpha }$
Xét tam giác đều ABC, ta có $AB=AH\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}\sin \alpha }, {{S}_{ABC}}=A{{B}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3{{\sin }^{2}}\alpha }$
Thể tích khối chóp S.ABC là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4\sqrt{3}}{3{{\sin }^{2}}\alpha }.\dfrac{2}{\cos \alpha }=\dfrac{8\sqrt{3}}{9\left( 1-{{\cos }^{2}}\alpha \right)\cos \alpha }$
Xét hàm số $y=\left( 1-{{x}^{2}} \right)x=-{{x}^{3}}+x,x\in \left[ 0;1 \right]$
$y'=0\Leftrightarrow -3{{x}^{3}}+1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\in \left[ 0;1 \right] \\
& x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\notin \left[ 0;1 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Ta tính $y\left( 0 \right)=0,y\left( 1 \right)=0,y\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$
Vậy để thể tích hình chóp nhỏ nhất thì giá trị $\left( 1-co{{s}^{2}}\alpha \right)\cos \alpha $ lớn nhất bằng $\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ khi $\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Đáp án C.