Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{2}}+ax+b \right|,$ với $a,b$ là tham số. Gọi $M$ là ía trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ -1; 3...

Theo bài ra, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& M\ge f\left( -1 \right) \\
& M\ge f\left( 3 \right) \\
& M\ge f\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\ge \left| -a+b+1 \right| \\
& M\ge \left| 3a+b+9 \right| \\
& 2M\ge 2\left| a+b+1 \right|=\left| -2a-2b-2 \right| \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $4M\ge \left| -a+b+1 \right|+\left| 3a+b+9 \right|+\left| -2a-2b-2 \right|\ge \left| -a+b+1+3a+b+9-2a-2b-2 \right|$
$\Leftrightarrow 4M\ge 8\Leftrightarrow M\ge 2$.
Điều kiện cần để $M=2$ là $\left| -a+b+1 \right|=\left| 3a+b+9 \right|=\left| -a-b-1 \right|=2$ và $-a+b+1,3a+b+9,-a-b-1$ cùng dấu $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -a+b+1=3a+b+9=-a-b-1=2 \\
& -a+b+1=3a+b+9=-a-b-1=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right..$
Ngược lại, với $\left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. $ thì $ f\left( x \right)=\left| {{x}^{2}}-2x-1 \right|.$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right].$
Ta có: $g'\left( x \right)=2x-2;g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1\in \left[ -1;3 \right].$
Do $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ nên $M=\max \left\{ \left| g\left( -1 \right) \right|;\left| g\left( 3 \right) \right|;\left| g\left( 1 \right) \right| \right\}=2.$
Từ đó suy ra với $\left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $a+2b=-4.$