Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{2}}+ax+b \right|$. Gọi...

Cách giải:
Vì Mlà giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& M\ge f\left( -1 \right)=\left| 1-a+b \right| \\
& M\ge f\left( 1 \right)=\left| 1+a+b \right|\Rightarrow 2M\ge \left| -2-2a-2b \right| \\
& M\ge f\left( 3 \right)=\left| 9+3a+b \right| \\
\end{aligned} \right.$
Cộng vế theo vế của các bất phương trình ta được:
$4M\ge \left| 1-a+b \right|+\left| -2-2a-2b \right|+\left| 9+3~a+~b \right|~$
⇒ $4M\ge \left| 1-a+b-2-2a-2b+9+3~a+~b \right|~$
$\Rightarrow 4M\ge 8\Leftrightarrow M~\ge ~2~$
⇒Giá trị nhỏ nhất của Mbằng 2 .
Dấu "=" xảy ra
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| 1-a+b \right|=2 \\
& \left| 1+a+b \right|=2 \\
& \left| 9+3a+b \right|=2 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \left( 1-a+b \right);\left( 1+a+b \right);\left( 9+3a+b \right) $ cùng dấu $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $a+2b=-2+2\left( -1 \right)=-4.~$