Google
Câu hỏi: Xét hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2$ và $\left| 2{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{7}$. Giá trị lớn nhất của $\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}+2-3i \right|$ bằng:
A. $\sqrt{13}+\sqrt{12}$.
B. $\sqrt{12}+\sqrt{6}$.
C. $\sqrt{13}-\sqrt{12}$.
D. $\sqrt{12}+3$.
A. $\sqrt{13}+\sqrt{12}$.
B. $\sqrt{12}+\sqrt{6}$.
C. $\sqrt{13}-\sqrt{12}$.
D. $\sqrt{12}+3$.
Ta có ${{\left| m{{z}_{1}}+n{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( m{{z}_{1}}+n{{z}_{2}} \right)\left( m\overline{{{z}_{1}}}+n\overline{{{z}_{2}}} \right)={{m}^{2}}{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{n}^{2}}{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+mn\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{1}}} \right),\forall m,n\in \mathbb{R}$
Khi đó ta có được:
${{\left| 2{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right|}^{2}}-3{{\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=4{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+9{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-6\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{1}}} \right)-12{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-3{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+6\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{1}}} \right)$
$\Leftrightarrow 28-3{{\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=-32+24\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{12}$
Khi đó $\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}+2-3i \right|\le \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| 2-3i \right|=\sqrt{13}+\sqrt{12}$.
Khi đó ta có được:
${{\left| 2{{z}_{1}}-3{{z}_{2}} \right|}^{2}}-3{{\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=4{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+9{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-6\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{1}}} \right)-12{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-3{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+6\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{1}}} \right)$
$\Leftrightarrow 28-3{{\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=-32+24\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{12}$
Khi đó $\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}+2-3i \right|\le \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| 2-3i \right|=\sqrt{13}+\sqrt{12}$.
Đáp án A.