Xét hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}...

Cách giải:

Gọi $A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$
Vì $\left| {{z}_{1}} \right|=1$ nên tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $O$ bán kính ${{R}_{1}}=1\Rightarrow OM=1.$
Vì $\left| {{z}_{2}} \right|=2$ nên tập hợp các điểm $N$ là đường tròn tâm $O$ bán kính ${{R}_{2}}=2\Rightarrow ON=2.$
Vì $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$ nên $MN=\sqrt{3}.$
Đặt ${{z}_{3}}=3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ là gọi $P$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{3}},$ khi đó ta có $\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM'}+\overrightarrow{ON}.$
$\Rightarrow OM'PN$ là hình bình hàng.
Khi đó $O{{P}^{2}}=OM{{'}^{2}}+O{{N}^{2}}+2OM'.ON.\cos \angle M'ON.$
Lại có $\Delta OMN$ vuông tại $M$ (định lý Pytago đảo) $\Rightarrow c\text{os}\angle \text{MON =}\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{1}{2}.$
$\Rightarrow O{{P}^{2}}=OM{{'}^{2}}+O{{N}^{2}}+2OM'.ON.c\text{os}\angle \text{M }\!\!'\!\!\text{ ON}$
$={{3}^{2}}+{{2}^{2}}+2.3.2.\dfrac{1}{2}=19$
$\Rightarrow OP=\sqrt{19}$
Gọi $Q\left( 0;-5 \right)$ là điểm biểu diễn số phức $5i,$ khi đó ta có $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|=PQ.$
Do đó ${{\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|}_{max}}=P{{Q}_{_{max}}}.$
Áp dụng BĐT tam giác có $PQ\le OP+OQ=\sqrt{19}+5.$
$\Rightarrow P{{Q}_{max}}=5+\sqrt{19}.$ Dấu $''=''$ xảy ả khi $P,O,Q$ thẳng hàng.